Wikipedija

Lindemann-Weierstrassov izrek: Razlika med redakcijama

Pregledujte zgodovino interaktivno
← Starejše urejanjeNovejše urejanje →
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
VizualnoVikibesedilo
m m+/dp/+p
m m/dp/slog
Vrstica 3:
: <math> \beta_{1} e^{\alpha_1}+ \cdots+\beta_{n} e^{\alpha_n} \neq 0 \!\, .</math>
 
Transcendentnosti števil [[e (matematična konstanta)|''e'']] in [[pi|&pi;''π'']] sta neposredni posledici tega izreka. Pri dokazu transcendentnosti ''e'' je potrebno pokazati, da če je ''e'' algebrski, potem obstajajo takšna racionalna števila β<sub>0</sub>,...,β<sub>''n''</sub>, ki niso vsa enaka 0, da velja
 
: <math> \beta_ne^{n}+\cdots+\beta_1e^{1}+\beta_0e^{0}=0 \!\, . </math>
Vrstica 11:
Enakovredna oblika izreka je naslednja: če so α<sub>1</sub>,...,α<sub>''n''</sub> različna algebrska števila, so eksponenti <math>e^{\alpha_{1}},\ldots,e^{\alpha_n}</math> linearno neodvisni v množici algebrskih števil.
 
Pri dokazovanju transcendentnosti števila &pi;'π'' se predpostavimopredpostavi, da je algebrsko. Ker [[množica]] vseh algebrskih števil tvori [[obseg]], to nakazuje, da sta tudi π''iπi'' in 2π2''iπi'' algebrska. Če vzamemose vzame β<sub>1</sub> = β<sub>2</sub> = 1, α<sub>1</sub> = π''iπi'', α<sub>2</sub> = 2π2''iπi'', nam Lindemann-Weierstrassov izrek da enačbo (glej [[Eulerjeva enačba|Eulerjeva enačba v kompleksni analizi]]):
 
: <math> 0 \neq e^{\pi i}+e^{2\pi i}=-1+1=0 \!\, . </math>
 
To protislovje pokaže transcendentnost števila ''π;''.
 
Izrek se imenuje po [[Ferdinand von Lindemann|Ferdinandu von Lindemannu]] in [[Karl Weierstrass|Karlu Weierstrassu]]. Lindemann je leta [[1882 v znanosti|1882]] [[matematični dokaz|dokazal]] da je število <math>e^{\alpha}</math> transcendentno za vsako [[neničelno število|neničelno]] algebrsko število α, in s tem dokazal, da je ''π'' transcendentno število. Weierstrass je dokazal izrek v splošnem leta [[1885 v znanosti|1885]]. Izrek skupaj z [[Gelfond-Schneiderjev izrek|Gelfond-Schneiderjevim izrekom]] posploši [[Schanuelova domneva]]. Če bo dokazana, bo poleg omenjenih izrekov rešila več drugih problemov o transcendentnosti [[eksponentna funkcija|eksponentne funkcije]], kakor tudi [[nerešeni matematični problemi|še ne dokazano]] [[algebrska neodvisnost|algebrsko neodvisnost]] števil ''π'' in ''e''.
 
Izrek je znan tudi pod imenoma '''Hermite-Lindemannov izrek''' in '''Hermite-Lindemann-Weierstassov izrek'''. [[Charles Hermite]] je najprej dokazal preprostejši izrek, kjer so <math>\alpha_{i}</math> racionalna števila in je linearna neodvisnost zagotovljena v množici racionalnih števil, kar včasih imenujejo '''Hermitov izrek'''. Čeprav je bolj posebni primer zgornjega izreka, se lahko splošni rezultat prevede na preprostejši primer. Lindemann je prvi obravnaval algebrska števila v Hermitovem delu leta 1882. Kmalu potem, ko je Weierstrass podal popolno rešitev, je več matematikov podalo poenostavljene dokaze, od katerih je morda najbolj znan [[David Hilbert|Hilbertov]] dokaz.
Pridobljeno iz »https://sl.wikipedia.org/wiki/Lindemann-Weierstrassov_izrek«