Negibna točka: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m m/dp/pnp |
m+ |
||
Vrstica 21:
se imenuje [[periodična točka]] - negibna točka je periodična točka s periodo enako 1. V [[projektivna geometrija|projektivni geometriji]] se negibna točka [[homografija|projektivnosti]] imenuje '''dvojna točka'''.<ref>{{sktxt|Coxeter|1942|pp=36}}.</ref>
== Privlačne negibne točke ==
[[Slika:Cosine fixed point.svg|thumb|right|200px|[[Metoda navadne iteracije]] ''x''<sub>''n''+1</sub> = cos ''x''<sub>''n''</sub> z začetno vrednostjo ''x''<sub>1</sub> = -1]]
[[Slika:Dottie number.png|thumb|right|200px|Dottiejino število je negibna točka naravne [[trigonometrične funkcije]] [[kosinus]] cos ''x'' = ''x'']]
''Privlačna negibna točka'' funkcije ''f'' je takšna negibna točka ''x''<sub>0</sub> funkcije ''f'', da za vsako vrednost ''x'' v definicijskem območju, ki je dovolj blizu ''x''<sub>0</sub>, zaporedje [[iteracija (matematika)|iteracij]]:
: <math> x,\ f(x),\ f(f(x)),\ f(f(f(x))), \dots \!\, </math>
[[limita zaporedja|konvergira]] k ''x''<sub>0</sub>. Izraz potrebnih pogojev in [[matematični dokaz|dokaz]] takšne rešitve podaja [[Banachov izrek o negibni točki]].
Naravna [[trigonometrična funkcija]] [[kosinus]] (»naravna« pomeni vrednosti v [[radian]]ih in ne stopinjah ali drugih enotah) ima točno eno negibno točko, ki je privlačna:
: <math> \cos x = x \!\, . </math>
V tem primeru »dovolj blizu« sploh ni strog kriterij, kar se lahko pokaže tako da se začne s poljubnim realnim številom in se zaporedoma pritiska tipka ''cos'' na kalkulatorju (ki mora biti pri tem v načinu »radianov«). Sčasoma vrednost konvergira k vrednosti 0,739085133, ki je negibna točka. V njej graf kosinusne funkcije (pri kotu 42,346°) seka premico <math>y = x</math>. To število se imenuje Dottiejino število.
Vse negibne točke niso privlačne. ''x'' = 0 je na primer negibna točka funkcije ''f''(''x'') = 2''x'', vendar iteracija te funkcije za vrednosti različne od 0 hitro divergira. Če je funkcija ''f'' vseeno zvezno odvedljiva v odprti okolici negibne točke ''x''<sub>0</sub> in velja <math>|f\,'(x_0)|<1</math>, je privlačnost zagotovljena.
Privlačne negibne točke so posebni primer širšega matematičnega koncepta [[atraktor]]jev.
Privlačna negibna točka je ''stabilna negibna točka'', če je stabilna tudi [[stabilnost Ljapunova|po Ljapunovu]].
Negibna točka je ''nevtralno stabilna negibna točka'', če je stabilna po Ljapunovu, vendar ni privlačna. Središče [[linearna diferenacilna enačba|homogene linearne diferencialne enačbe]] 2. reda je zgled nevtralno stabilne negibne točke.
== Glej tudi ==
Vrstica 40 ⟶ 64:
[[Kategorija:Lastnosti funkcij]]
[[Kategorija:Dinamični sistemi]]
[[Kategorija:Teorija iger]]
| |||