Cantorjev diagonalni dokaz: razlika med redakcijama

m
pp
m (robot Spreminjanje: ta)
m (pp)
Neposredna posledica tega rezultata je, da tudi množica vseh realnih števil '''R''' ni števna. Če bi bila '''R''' števna, bi lahko oštevilčili vsa realna števila in bi zaporedje, ki bi oštevilčilo [0,1], lahko dobili tako, da bi odstranili vsa realna števila zunaj tega intervala. Vendar smo pravkar pokazali, da tak zaporedje, ki bi oštevilčilo [0,1], ne more obstajati.
 
Lahko bi tudi dokazali, da sta množici [0,1] in '''R''' enako [[moč množice|močni]] tako, da bi med njima konstruirali [[bijekcijabijektivna preslikava|bijekcijo]]. Za zaprti interval [0,1] je to storiti rahlo nerodno, čeprav možno; za odprti interval (0,1) bi lahko uporabili
<math>f\colon (0,1)\rightarrow\mathbb{R}</math>
definirano kot <math>f(x) = \tan\left(\pi\left(x-\frac{1}{2}\right)\right)</math>.
Cantor je uporabil posplošeno obliko diagonalnega dokaza, da je dokazal [[Cantorjev izrek]]: za vsako [[množica|množico]] ''S'', je [[potenčna množica]] množice ''S'' - se pravi, množica vseh [[podmnožica|podmnožic]] množice ''S'' (tu jo bomo pisali kot '''P'''(''S'')) - [[moč množice|večja]] kot sama množica ''S''. Ta dokaz s protislovjem gre takole:
 
Denimo, da sta ''S'' in '''P'''(''S'') enako močni in naj bo torej ''f'' katerakoli bijektivna preslikava med njima. Zadostuje dokazati, da ''f'' ne more biti [[surjektivna preslikava|surjekcija]]. To pomeni, da nek element množice '''P'''(''S'') - to se po zgornji definiciji v konkretnem primeru pravi: neka podmnožica množice ''S'' - ni v [[množica slik|sliki]] preslikave ''f''. Taka množica je množica ''T'', definirana kot
:<math>T=\{\,s\in S: s\not\in f(s)\,\}.</math>