Augustin Louis Cauchy: Razlika med redakcijama

dodanih 6.829 zlogov ,  pred 6 leti
m+
m (m+/dp)
(m+)
| partner =
| children = Marie Françoise Alicia (1819) <br /> Marie Mathilde (1823)
| signature = Signature d'Augustin Louis Cauchy.svg
| signature_alt =
| website =
Skozi celotno 19. stoletje se je francoski izobraževalni sistem bojeval z vprašanjem delitve cerkve in države. Rimskokatoliška cerkev si je prizadevala za svobodo izobrazbe. V Cauchyju je pri tem prizadevanju našla čvrstega in slavnega zaveznika. Svoj ugled in znanje je posodil [[École Normale Écclésiastique]], šoli v Parizu, ki so jo vodili jezuiti, za vzgojo učiteljev v svojih kolegijih. Sodeloval je tudi pri ustanovitvi [[Katoliški inštitut v Parizu|Katoliškega inštituta]] (Institut Catholique) v Parizu. Namen tega inštituta je bilo odvračanje posledic odsotnosti katoliškega univerzitetnega izobraževanja v Franciji. Te dejavnosti Cauchyja niso proslavile pri njegovih kolegih, ki so v celoti gledano, podpirali ideale [[razsvetljenstvo|razsvetljenstva]] francoske revolucije. Ko se je leta 1843 izpraznilo mesto stolice za matematiko na Francoskem kolegiju, je Cauchy zaprosil zanj, vendar je dobil le tri od 45-ih glasov.
 
Leto 1848 je bilo leto revolucij po vsej Evropi. Revolucije so izbruhnile v številnih državah, začele pa so se v Franciji. Kralj Ludvik Filip I., ki se je zbal enake usode [[Ludvik XVI. Francoski|Ludvika XVI.]], je pobegnil v Anglijo. Prisego zvestobi so odpravili in pot k akademskemu imenovanju je bila za Cauchyja končno prosta. 1. marca 1849 so ga ponovno imenovali za profesorja matematične astronomije na Faculté de Sciences Imperialne univerze Francije. Po njegovi smrti ga je na tej stolici nasledil [[Victor Alexandre Puiseux|Victor Puiseux]].
 
Po političnem uporu skozi celo leto 1848 je Francija izbrala postati [[francoska druga republika|republika]], pod predsedovanjem [[Napoleon III.|Louisa Napoléona Bonaparteja]], Napoléonovega nečaka in sina Napoléonovega brata, ki so ga namestili za prvega kralja Holandije. Kmalu zgodaj leta 1852 je predsednik postal francoski cesar in prevzel ime Napoléon III.
=== Valovna teorija, mehanika, teorija elestičnosti ===
 
V teoriji [[svetloba|svetlobe]] je raziskoval [[Augustin-Jean Fresnel|Fresnelovo]] valovno teorijo, [[disperzija (optika)|disperzijo]] in [[polarizacija valovanja|polarizacijo]] svetlobe. Pomembno je tudi prispeval k [[mehanika|mehaniki]], kjer je zamenjal pojem zveznosti geometrijskega premika z načelom o zveznosti [[snov]]i. Pisal je o ravnovesju paličnih nosilcev in prožnih [[membrana]]h, ter o valovanju v prožni snovi. LeLeta ta18271827 je uvedel [[simetrična matrika|simetrično matriko]] števil 3 × 3, ki je sedaj znana kot [[Cauchyjev napetostni tenzor]].<ref>{{sktxt|Cauchy|1827}}.</ref> V [[teorija elastičnosti|teoriji elastičnosti]] je ustvaril teorijo o [[mehanska napetost|(mehanski) napetosti]] in njegovi rezultati so tako dragoceni kot [[Siméon-Denis Poisson|Poissonovi]]. Cauchy je pojem mehanske napetosti v [[mehanika kontinuumov|mehaniko kontinuumov]] uvedel okoli leta 1822. Matematično je tudi obdelal mehanske napetosti. V preprostem primeru je [[telo (fizika)|telo]] enoosno obremenjeno, na primer prizmatična palica z nateznimi ali tlačnimi napetostmi s [[sila|silo]], ki poteka skozi njeno (vzdolžno, glavno) os, tako da je napetost <math>\sigma\, </math> dana kot količnik sile <math>F\, </math> in površine (začetnega) preseka palice <math>S_{0}\, </math> enaka:
 
: <math> \sigma=\frac{F}{S_{0}} \!\, . </math>
 
V tem primeru je napetost <math>\sigma\, </math> podana kot [[skalar]] in se imenuje mehanska ali imenska napetost. Predstavlja povprečno vrednost napetosti po površini preseka, in je enakomerno porazdeljena. V splošnem pa napetost po preseku telesa ni enakomerno razporejena, tako da je napetost v točki dane površine različna od povprečne vrednosti napetosti po celotni površini. Po Cauchyju je napetost v poljubni točki v telesu, za katerega predpostavimo da je kontinuum – zvezno in nepretrgano sredstvo, popolnoma določena z devetimi komponentami simetričnega [[tenzor]]ja ranga 2 <math>\sigma_{ij}\, </math>, ki je znan kot Cauchyjev ali kartezični napetostni tenzor (tenzor napetosti):
 
: <math> \sigma_{ij}=\left[\begin{array}{ccc}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13}\\
\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23}\\
\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}\end{array}\right]\equiv\left[\begin{array}{ccc}
\sigma_{\mathrm{xx}} & \sigma_{\mathrm{xy}} & \sigma_{\mathrm{xz}}\\
\sigma_{\mathrm{yx}} & \sigma_{\mathrm{yy}} & \sigma_{\mathrm{yz}}\\
\sigma_{\mathrm{zx}} & \sigma_{\mathrm{zy}} & \sigma_{\mathrm{zz}}\end{array}\right]\equiv\left[\begin{array}{ccc}
\sigma_{\mathrm{x}} & \tau_{\mathrm{xy}} & \tau_{\mathrm{xz}}\\
\tau_{\mathrm{yx}} & \sigma_{\mathrm{y}} & \tau_{\mathrm{yz}}\\
\tau_{zx} & \tau_{\mathrm{zy}} & \sigma_{\mathrm{z}}\end{array}\right]\equiv\mathbf{T,} \!\, </math>
 
kjer so <math>\sigma_{11}\, </math>, <math>\sigma_{22}\, </math> in <math>\sigma_{33}\, </math> normalne napetosti, <math>\sigma_{12}\, </math>, <math>\sigma_{13}\, </math>, <math>\sigma_{21}\, </math>, <math>\sigma_{23}\, </math>, <math>\sigma_{31}\, </math> in <math>\sigma_{32}\, </math> pa strižne napetosti. Prvi indeks <math>i\, </math> naznačuje, da komponenta napetosti deluje na ravnino, ki je pravokotna na os <math>x_{\mathrm{i}}\, </math>, drugi indeks <math>j\, </math> pa naznačuje smer v kateri deluje komponenta napetosti. Komponenta napetosti je pozitivna, če deluje v pozitivni smeri koordinatnih osi, in če ima ravnina, v kateri deluje, normalni vektor, ki kaže navzven v pozitivni koordinatni smeri. Po ravnovesnem stanju [[navor]]ov vseh [[zunanja sila|zunanjih sil]] med strižnimi napetostmi veljajo enakosti:
 
: <math> \sigma_{\mathrm{12}}=\sigma_{\mathrm{21}},\quad\sigma_{\mathrm{13}}=\sigma_{\mathrm{31}},\quad\sigma_{\mathrm{23}}=\sigma_{32} \!\, , </math>
 
zato je le šest med seboj neodvisnih komponent: tri normalne napetosti (<math>\sigma_{11}\, </math>, <math>\sigma_{22}\, </math>, <math>\sigma_{33}\, </math>) in tri strižne (<math>\sigma_{12}\, </math>, <math>\sigma_{13}\, </math>, <math>\sigma_{23}\, </math>), Cauchyjev napetostni tenzor pa je zato simetričen:
 
: <math> \sigma_{\mathrm{ij}}=\sigma_{\mathrm{ji}} \!\, . </math>
 
Za Cauchyjev napetostni tenzor veljajo tenzorske transformacije pri spremembah koordinatnega sistema. Uporablja se pri telesih, ki se deformirajo v majhni meri. Za večje deformacije so potrebni drugi pokazatelji napetosti, na primer: prvi in drugi [[Piola-Kirchhoffov napetostni tenzor]], [[Biotov napetostni tenzor|Biotov]] in [[Kirchhoffov napetostni tenzor]].
 
=== Teorija števil ===
 
Cauchy je prvi strogo dokazal [[Taylorjev izrek]] iz leta 1712 in uvedel svojo dobro znano obliko ostanka. Za svoje študente na École Polytechnique je napisal učbenik, v katerem je razvil osnovne izreke matematične analize v strogem smislu kot se je le dalo.<ref>{{sktxt|Cauchy|1821}}.</ref> V tej knjigi je dal potrebni in zadostni pogoj za obstoj [[limita funkcije|limite]] v obliki, ki jo še danes poučujejo. Tudi dobro znani [[konvergenčni kriterij|kriterij]] [[absolutna konvergenca|absolutne konvergence]] izhaja iz te knjige – [[Cauchyjev kondenzacijski kriterij]]. Leta 1829 je prvič definiral kompleksno funkcijo kompleksne spremenljivke v drugem učbeniku.<ref>{{sktxt|Cauchy|1829}}.</ref> Cauchyjevi lastni raziskovalni članki so navkljub temu vsebovali intuitivne in nestroge metode.<ref>{{sktxt|Kline|1980|pp=176}}.</ref>{{rp|176}} Enega od njih je na primer s »[[protiprimer]]om« izpostavil [[Niels Henrik Abel|Abel]], ki se je kasneje popravil z uvedbo pojma [[enakomerna zveznost|enakomerne zveznosti]].
 
=== Načelo argumenta, stabilnost ===
 
Dve leti pred smrtjo je leta 1855 objavil članek v katerem je obravnaval več izrekov, od katerih je eden podoben »[[načelo argumenta|načelu argumenta]]« iz mnogih sodobnih učbenikov o kompleksni analizi. V sodobnih učbenikih [[teorija upravljanj|teorije upravljanja]] se Cauchyjevo načelo argumenta pogosto rabi za izpeljavo [[Nyquistov kriterij stabilnosti|Nyquistovega kriterija stabilnosti]], ki se lahko uporabi za napovedovanje stabilnosti [[ojačevalnik z negativno povratno zanko|ojačevalnika]] z [[negativna povratna zanka|negativno povratno zanko]] in [[kontrolni sistem|kontrolnih sistemov]] z negativno [[povratna zanka|povratno zanko]]. To Cauchyjevo delo je imelo močan vpliv tako na čisto kot na [[uporabna matematika|uporabno matematiko]] v [[inženirstvo|inženirstvu]].
 
=== Izbrana dela ===
 
Cauchy je bil zelo ustvarjalen. Po številu člankov ga je prekašal le [[Leonhard Euler|Euler]]. Trajalo je skoraj stoletje, da so zbrali vse njegove zapise v 27 velikih knjig:
* ''[http://portail.mathdoc.fr/cgi-bin/oetoc?id=OE_CAUCHY_1_8 Oeuvres complètes d'Augustin Cauchy publiées sous la direction scientifique de l'Académie des sciences et sous les auspices de M. le ministre de l'Instruction publique (27 knjig)]'' (Pariz : Gauthier-Villars et fils, 1882–1974)
Njegove največje dosežke v matematični znanosti obdajajo stroge metode, ki jih je vpeljal. Vključene so v glavnem v njegovih treh velikih razpravah:
* ''[http://mathdoc.emath.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_CAUCHY_2_3_P5_0 Cours d'analyse de l'École royale polytechnique]'' (1821)
* ''Le Calcul infinitésimal'' (1823)
* ''Leçons sur les applications de calcul infinitésimal''; ''La géométrie'' (1826–1828)
 
Druga njegova dela so:
* ''[https://archive.org/details/exercicedanaly01caucrich Exercices d'analyse et de physique mathematique (Volume 1)]''
* ''[https://archive.org/details/exercicedanaly02caucrich Exercices d'analyse et de physique mathematique (Volume 2)]''
* ''[https://archive.org/details/exercicedanaly03caucrich Exercices d'analyse et de physique mathematique (Volume 3)]''
* ''[https://archive.org/details/117770570_004 Exercices d'analyse et de physique mathematique (Volume 4)]'' (Pariz: Bachelier, 1840–1847)
* ''[http://gallica.bnf.fr/notice?N=FRBNF35030140 Analyse algèbrique]'' (Imprimerie Royale, 1821)
* ''[http://gallica.bnf.fr/notice?N=FRBNF37281629 Nouveaux exercices de mathématiques]'' (Pariz: Gauthier-Villars, 1895)
* ''Tečaji mehanike'' (za École Polytechnique)
* ''Višja algebra'' (za [[Faculté des Sciences]])
* ''Matematična fizika'' (za Francoski kolegij).
* ''[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90188b/f34 Mémoire sur l'emploi des equations symboliques dans le calcul infinitésimal et dans le calcul aux différences finis]'' CR Ac ad. Sci. Paris, t. XVII, 449–458 (1843) velja za začetek [[operacijski račun|operacijskega računa]].
 
== Priznanja ==
* [[izrek Cauchyja in Kovalevske]]
* [[Peanov eksistenčni izrek]] (Cauchy-Peanov izrek)
* [[Picard-Lindelöfov izrek]] (Cauchy-Lipschitzev izrek)
{{div col end}}