Močno število: Razlika med redakcijama

Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m m/tn
m/druga vsebina
Vrstica 1:
{{razredi deljivosti}}
'''Močno število''' je v [[matematika|matematiki]] [[sestavljeno število|sestavljeno]] [[pozitivno število|pozitivno]] [[celo število]] <math>m\, </math>, da kadar vsako [[praštevilo]] <math>p\, </math>, ki [[deljivost|deli]] <math>m\, </math>, ga deli tudi njegov [[kvadrat (algebra)|kvadrat]] <math>p^{2}\, </math>. Močno število <math>m\, </math> je [[produkt]] [[kvadratno število|kvadrata]] in [[kub]]a, oblike <math>m = a^{2}b^{3}\, </math>, kjer sta <math>a\, </math> in <math>b\, </math> pozitivni celi števili. Takšna števila sta raziskovala [[Paul Erdős]] in [[George Szekeres]], [[Solomon Wolf Golomb]] pa jih je imenoval močna.
'''Močno število''' je [[sestavljeno število]], ki ga ob [[praštevilski razcep|praštevilskem razcepu]] lahko zapišemo z eno samo [[potenca|potenco]]. Imenujemo ga tudi '''popolna potenca'''.
 
Prva močna števila so: {{OEIS|id=A001597A001694}}:
Potenca je oblike <math>a^{b}</math>, le da pri močnem številu za b vedno velja <math>b>1</math>. Če je <math>b = 2</math>, govorimo o [[popolni kvadrat|popolnem kvadratu]], pri <math>b=3</math> pa o [[popolni kub|popolnem kubu]].
 
: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000, ...
Prva močna števila so: {{OEIS|id=A001597}}
 
Števila, ki so močna, niso pa tudi [[popolna potenca|popolne potence]], se imenujejo [[Ahilovo število|Ahilova števila]].
* <math>1^n=1</math>
* <math>2^2=4</math>
* <math>2^3=8</math>
* <math>3^2=9</math>
* <math>2^4=4^2=16</math>
* <math>5^2=25</math>
* <math>3^3=27</math>
* <math>2^5=32</math>
* <math>6^2=36</math>
* <math>7^2=49</math>
* <math>2^6=4^3=8^2=64</math>
* <math>3^4=9^2=81</math>
* <math>10^2=100</math>
* ...
 
== Zunanje povezave ==
Prva močna števila, ki imajo različne faktorizacije so: {{OEIS|id=A117453}}
 
* {{MathWorld|urlname=PowerfulNumber|title=Powerful number}}
: 1, 16, 64, 81, 256, 512, 625, 729, 1024, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, ...
 
{{math-stub}}
== Vsote ==
 
[[vsota(matematika)|Vsota]] [[obratna vrednost|obratnih vrednosti]] močnih števil (vključno z različnimi faktorizacijami) je enaka 1:
 
:<math> \sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^{k}}=1 \!\, , </math>
 
kar lahko [[matematični dokaz|dokažemo]] kot sledi:
 
: <math>\sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^k}
=\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m^2} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{m^k}
=\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m^2} \left( \frac{m}{m-1} \right)
=\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m(m-1)}
=\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m-1} - \frac {1}{m} = 1 \, .</math>
 
Po [[Leonhard Euler|Eulerju]] je [[Christian Goldbach|Goldbach]] dokazal, ne sicer v duhu sodobne strogosti, v sedaj izgubljenem pismu njemu, da je vsota 1/(''p''−1) v množici močnih števil ''p'', brez 1 in različnih faktorizacij, enaka 1:
 
:<math>\sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^{k}-1} \equiv \sum_{p}\frac{1}{p-1}= {\frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}+ \frac{1}{15} + \frac{1}{24} + \frac{1}{26}+ \frac{1}{31}}+ \cdots = 1.</math>
 
To dejstvo se včasih imenuje [[Goldbach-Eulerjev izrek]].
 
[[Kategorija:Števila]]
[[Kategorija:Celoštevilska zaporedja]]