Zvezna funkcija: Razlika med redakcijama

dodanih 1.382 zlogov ,  pred 8 leti
m+
m (Bot: Migracija 48 interwikija/-ev, od zdaj gostuje(-jo) na Wikipodatkih, na d:q170058)
(m+)
'''Zvézna fúnkcija''' je v [[matematika|matematiki]] [[funkcija]], pri kateri majhna sprememba podatka povzroči majhno spremembo funkcijske vrednosti. [[Grafgraf funkcije|Graf]] zvezne funkcije je nepretrgan.
 
== Matematična definicija ==
 
Zveznost nas po navadi zanima pri realnih funkcijah realne spremenljivke. Zveznost funkcije v okolici točke ''a'' definiramo sz takoimenovano[[definicija limite (ε, δ)|definicijo epsilon-delta definicijo]], ki jo je vpeljal [[Augustin Louis Cauchy]]:
 
Funkcija ''f'' je v točki ''a'' zvezna, če za poljubno majhno pozitivno število ''ε'' obstaja pozitivno število ''δ'', tako da velja:
 
: <math> |a-x|<\delta \Rightarrow |f(a)-f(x)|<\varepsilon \!\, . </math>
 
(Razlaga: če se ''x'' za manj kot ''δ'' razlikuje od ''a'', potem se ''f(x)'' za manj kot ''ε'' razlikuje od ''f(a)''.)
 
Zveznost lahko definiramo tudi z [[limita funkcije|limito funkcije]]: Funkcija je v točki ''a'' zvezna, če in samo če je limita v tej točki enaka funkcijski vrednosti, tj.:
 
: <math> \lim_{x\to a} f(x)=f(a) \!\, . </math>
 
== Zgledi ==
* [[potenčna funkcija|Potenčna]] in [[korenska funkcija]] sta zvezni povsod, kjer sta definirani.
* [[eksponentna funkcija|Eksponentna]] in [[logaritemska funkcija]] sta zvezni povsod, kjer sta definirani.
* [[Trigonometrijskatrigonometrična funkcija|TrigonometrijskeTrigonometrične funkcije]] so zvezne povsod, kjer so definirane.
 
[[Slika:Signum.png|thumb|right|Graf funkcije signum]]
Za primerzgled nezveznosti si oglejmo funkcijo [[signum]] ([[funkcija predznaka|funkcijo predznaka]]), ki je definirana kot:
: <math>\sgn x = \left\{ \begin{matrix}
-1; & \text{za} & x < 0 \\
 
Ta funkcija je sicer povsod definirana, vendar pa v točki 0 ni zvezna - graf se tam pretrga.
 
== Zgodovina ==
 
Obliko definicije (ε, δ) zveznosti je prvi podal [[Bernard Bolzano]] leta 1817. Cauchy je pri definiciji zveznosti funkcije <math>y=f(x)\, </math> upošteval, da neskončno majhni prirastek <math>\alpha\, </math> neodvisne spremenljivke zmeraj povzroči neskončno majhno spremembo <math>f(x+\alpha)-f(x)\, </math> odvisne spremenljivke ''y''. (glej npr. ''[[Cours d'Analyse]]'', str.&nbsp;34). Neskončno majhne količine je definiral s pomočjo spremenljivih količin, njegova definicija zveznosti ustreza sodobni definiciji [[infinitezimala|infinitezimal]] (glej [[mikrozveznost]]). Formalno definicijo in razliko med zveznostjo po točkah in [[enakomerna zveznost|enakomerno zveznostjo]] je prvi podal Bolzano v 1830-ih, vendar njegovo delo ni bilo objavljeno do 1930-ih. [[Eduard Heine]] je pripravil prvo objavljeno definicijo enakomerne zveznosti leta 1872, ki je temeljila na zamislih iz predavanj o določenih integralih [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Johanna Petra Gustava Lejeunea Dirichleta]] leta 1854.<ref>{{sktxt|Rusnock|Kerr-Lawson|2005}}.</ref>
 
== Opombe in sklici ==
{{sklici|1}}
 
== Viri ==
 
* {{navedi revijo|last1= Rusnock|first1= P.|last2= Kerr-Lawson|first2= A.|title= Bolzano and uniform continuity|journal= [[Historia Mathematica]]|volume= 32|year= 2005|pages= 303–311|issue= 3}}
 
[[Kategorija:Lastnosti funkcij]]