Praštevilski izrek: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m m/slog/pnp |
|||
Vrstica 44:
{\prod_{\textstyle{ p=2 \atop p \in \mathbb{P}}}^{\infty}} \frac{p^{s}}{p^{s}-1} \!\, . </math>
Prednost produkta je v tem, da ne vsebuje [[ničla funkcije|ničel]] v [[polravnina|polravnini]]. Njegov rezultat je presenetljiv, saj povezuje funkcijo <math>\zeta(s)</math> z neskončno [[množica|množico]] [[praštevilo|praštevil]] ''P'', osnovnih gradnikov [[število|števil]]. Praštevila so prisotna v [[analiza|analizi]], ki je odraz neskončne narave matematike. [[Infinitezimalni račun]], [[Newtonov polinom|Newtonovi polinomi]], [[funkcija gama|funkcija Γ]] in funkcija <math>\zeta</math> funkcija vse sodijo v analizo.
: <math> \frac{1}{\sqrt \pi^2} \Gamma\left( \frac{s}{2} \right) \zeta (s) \!\, </math>
ostaja nespremenjena, kadar ''s'' zamenjamo z 1 - ''s''. Pomena enakosti ne moremo videti neposredno, ker so funkcije določene v samostojnih polravninah ločenih s kritičnim trakom. Trak vsebuje [[kompleksno število|kompleksna števila]] katerih realni deli ležijo točno med 0 in 1. To pomeni da imata tako dve funkciji [[analitično nadaljevanje|naravni nadaljevanji]] preko mej traku in ti dve sta enaki. Za funkcijo <math>\zeta(s)</math> velja
: <math> \zeta(s) = 2^{s} \pi^{s-1} \sin \left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma (s-1) \zeta(1-s) \!\, , </math>
| |||