Newtonova metoda: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m →Zgled |
m Bot: de:Newton-Verfahren je dober članek; oblikovne spremembe |
||
Vrstica 3:
Za avtorja metode šteje [[Isaac Newton]], ki jo je opisal v delu ''De analysi per aequationes numero terminorum infinitas'' (napisano [[1669 v znanosti|1669]], izdano 1711). Ker se je s to metodo ukvarjal tudi [[Joseph Raphson]] v delu '' Analysis aequationum universalis'' (1690), jo včasih zasledimo tudi pod imenom '''Newton-Raphsonova metoda'''.
== Ideja metode ==
[[Slika:Newton–Raphson method.png|thumb|Prvi trije približki po tangentni metodi]]
Osnovna ideja te metode je naslednja:
* Število ''x''<sub>0</sub> naj bo približek za ničlo funkcije ''f''.
* V točki ''x''<sub>0</sub> postavimo [[tangenta|tangento]] na [[graf funkcije]] ''f'' in pogledamo, kje je ničla tangente.
* Ker je tangenta dobra aproksimacija za funkcijo, sklepamo, da je ničla tangente dober približek za ničlo funkcije ''f''. Ničlo tangente vzamemo torej za naslednji približek ''x''<sub>1</sub>.
* Postopek nadaljujemo na enak način in tako iz ''x''<sub>1</sub> dobimo ''x''<sub>2</sub>, itd.
* Dobljeno zaporedje približkov praviloma hitro [[konvergenca|konvergira]] k ničli funkcije ''f''.
== Praktična izvedba ==
Iteracijska formula, po kateri iz približka ''x<sub>n</sub>'' izračunamo naslednji približek ''x''<sub>''n''+1</sub>, je zelo preprosta:
:<math>x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}</math>
Vrstica 19:
V formuli nastopata vrednost funkcije ''f'' in vrednost [[odvod]]a ''f<nowiki>'</nowiki>'' (tj. vrednost smernega koeficienta tangente).
== Uspešnost metode ==
Izkaže se, da je Newtonova metoda uspešna za iskanje [[ničla funkcije|ničel]] prve stopnje. Pri takih ničlah zaporedje približkov vedno vodi k ničli, če je le začetni približek primerno izbran. V ničlah višje stopnje je tangenta vodoravna, kar otežkoča (ali celo onemogoča) uporabo Newtonove metode.
Newtonovo metodo se najpogosteje uporablja pri iskanju ničel polinomov, vendar pa ni omejena samo na polinome: uporabimo jo lahko tudi na drugih odvedljivih funkcijah. Uporabna je celo za iskanje ničel v [[kompleksna števila|kompleksnem]], če izberemo primeren (nerealnen) začetni približek.
== Zgled ==
Izračunajmo po Newtonovi metodi ničlo funkcije <math>f(x)=x^2-612\,\!</math>. Odvod te funkcije je <math>f'(x)=2x\,\!</math>. Za začetni približek izberimo število 10. Dobimo zaporedje približkov:
:<math>\begin{matrix}
Vrstica 43:
[[Kategorija:Numerična analiza]]
[[Kategorija:1669 v znanosti]]
{{Link GA|de}}
| |||