Fermatovo praštevilo: Razlika med redakcijama

Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m m/-p:letnice/+ktgr
m m+
Vrstica 9:
: <math>2^{2^n}+1 , </math>
 
kjer je ''n'' naravno število se imenujejo '''Fermatova števila'''. [[Pierre de Fermat|Fermat]] je nepravilno domneval, da so vsa takšna števila [[praštevilo|praštevila]], čeprav ni imel [[matematični dokaz|dokaz]]a. Prvih pet Fermatovih števil 3, 5, 17, 257, 65537, ki odgovarjajo ''n'' = 0, 1, 2, 3, 4, so vsa praštevila. [[Leonhard Euler|Euler]] je prvi leta 1732 dokazal, da ta Fermatova domneva ne velja, in pokazal kako je število 641 [[delitelj]] Fermatovega števila ''F''<sub>5</sub>, saj je:<ref>{{sktxt|Hsiung|1995|pp=39}}.</ref>
 
: <math> \begin{align} F_{5} &= 2^{2^{5}} + 1 = 2^{324} \left( 2^{7} \right)^{4} + 1 = 4294967297\left( = 6412^{7} \cdot 67004175 - 5^{4} + 1 \;right) .\left( </math>2^{7} \right)^{4} + 1 \\
&= \left( 1 + 2^{7} \cdot 5 \right) \left( 2^{7} \right)^{4} + 1 - \left( 2^{7} \cdot 5 \right)^{4} \\
&= \left( 1 + 2^{7} \cdot 5 \right) \left( \left( 2^{7} \right)^{4} \left( 1 - 5 \cdot 2^{7} \right) \left( 1 + \left( 5 \cdot 2^{7} \right)^{2} \right) \right) \\
&= 641 \cdot 6700417 = 4294967297 \!\, , \end{align} </math>
 
oziroma:
 
: <math> F_{5} = 2^{32} + 1 = \left( 2^{9} + 2^{7} + 1 \right) \left( 2^{27} - 2^{21} + 2^{19} - 2^{17} + 2^{14} - 2^{9} - 2^{7} + 1 \right) \!\, . </math>
 
Euler je dokazal, da mora biti vsak faktor ''F''<sub>''n''</sub> oblike ''k''2<sup>''n''+1</sup> + 1, kar je kasneje [[Édouard Lucas|Lucas]] leta 1878 izboljšal na ''k''2<sup>''n''+2</sup> + 1.
 
V bistvu ne poznamo nobenega Fermatovega števila za ''n'' > 4, ki bi bilo praštevilo in tako domnevamo, da so to tudi ''vsa'' praštevila te oblike. Ne vemo tudi ali obstaja neskončno mnogo Fermatovih praštevil. Prva Fermatova števila so {{OEIS|id=A000215}}:
Vrstica 50 ⟶ 59:
* [[Mersennovo število]]
* [[Gaussovo praštevilo]]
 
== Sklici ==
{{sklici|3}}
 
== Viri ==
 
* {{navedi knjigo|last=Hsiung|first= C. Y.|title=Elementary Theory of Numbers|url= http://books.google.si/books?id=Bfvbx85FkVQC&hl=sl&source=gbs_navlinks_s |year= 1995|publisher= Allied Publishers|isbn=81-7023-464-6}}
 
== Zunanje povezave ==