|
'''Diofántske enáčbe''' so v [[matematika|matematiki]] [[enačba|enačbe]] oblike ''f'' = 0, kjer je ''f'' [[polinom]] s [[celo število|celoštevilskimi]] koeficienti ene ali več spremenljivk, ki zavzamejo celoštevilske vrednosti. Imenujejo se po [[Diofant]]u, ki je raziskoval enačbe s spremenljivkami, z [[racionalno število|racionalnimi]] vrednostmi. Zgledi diofantskih enačb so:
{|
* <math>ax + by = 1 \, </math>: linearna diofantska enačba (Glej [[Bézoutova enakost]]). ▼|-
* <math> x^{n} + y^{n} = z^{n}\,</math>: Za ''n'' = 2 obstaja več rešitev (''x'',''y'',''z''), [[pitagorejska trojica|pitagorejske trojice]]. Za večje vrednosti ''n'', [[Fermatov veliki izrek]] trdi, da ne obstajajo pozitivne celoštevilske rešitve ''x'', ''y'', ''z'' zgornje enačbe.
▲*| <math>ax + by = 1 \, </math> : || linearna diofantska enačba (Glej [[Bézoutova enakost]]).
* <math>x^{2} - n y^{2} = 1\,</math>: [[Pellova enačba]], imenovana pomotoma po [[John Pell|Johnu Pellu]]. Raziskovala sta jo [[Brahmagupta]] in [[Pierre de Fermat|de Fermat]].
|-
* <math>x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3xyz \,</math>: [[kvadratna enačba|kvadratna]] [[enačba Markova]] ▼*| <math> x^{2n} + y^{2n} += z^{2n} = t^{2} \!\,</math>: || Za ''n'' = 2 obstaja več rešitev (''x'',''y'',''z''), [[pitagorejska četvorkatrojica|pitagorejske četvorketrojice]]. Za večje vrednosti ''n'', [[Fermatov veliki izrek]] trdi, da ne obstajajo pozitivne celoštevilske rešitve ''x'', ''y'', ''z'' zgornje enačbe.
|-
* <math>\sum_{i=0}^n{a_i x^i y^{n-i}} = c</math>, kjer je <math>n \geq 3</math> in <math>c \neq 0</math>: to so [[Thuev izrek|Thueve enačbe]] in so v splošnem rešljive. ▼*| <math> x^{a2} - n y^{b2} = 1 \!\, </math>: diofantska|| [[Pellova enačba]], imenovana pomotoma po [[TijdemanovJohn izrekPell|TijdemanovegaJohnu izrekaPellu]]. Raziskovala sta jo [[Brahmagupta]] in [[CatalanovaPierre de domnevaFermat|Catalanovede domneveFermat]].
|-
* <math> x^{4} + y^{4} + z^{4} + t^{4} = (x + y + z + t)^{4} \!\, </math>: [[Eulerjeva enačba četrte stopnje]]. ▼▲*| <math>x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3xyz \,</math> : || [[kvadratna enačba|kvadratna]] [[enačba Markova]]
* <math>\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \!\,</math>, oziroma v polinomski obliki 4''xyz''=''n''(''xy''+''xz''+''yz''). [[Erdős-Strausova domneva]] pravi, da za vsak celi ''n'' ≥ 2 obstaja rešitev, kjer so ''x'', ''y'' in ''z'' vsi [[pozitivno število|pozitivna]] cela števila. ▼|-
| <math>x^{2} + y^{2} + z^{2} = t^{2} \!\,</math> || [[pitagorejska četvorka|pitagorejske četvorke]].
|-
▲*| <math>\sum_{i=0}^n{a_i x^i y^{n-i}} = c</math>, kjer je <math>n \geq 3</math> in, <math>c \neq 0</math> : to so|| [[Thuev izrek|Thueve enačbe]] in so v splošnem rešljive.
|-
| <math> x^{a} - y^{b} = 1 \!\, </math> || diofantska enačba [[Tijdemanov izrek|Tijdemanovega izreka]] in [[Catalanova domneva|Catalanove domneve]].
|-
| <math> x^{m} + y^{n} = z^{k} \!\, </math> || diofantska enačba [[Fermat-Catalanova domneva|Fermat-Catalanove domneve]].
|-
▲*| <math> x^{4} + y^{4} + z^{4} + t^{4} = (x + y + z + t)^{4} \!\, </math> : || [[Eulerjeva enačba četrte stopnje]].
|-
▲*| <math>\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \!\,</math>, oziroma v polinomski obliki 4''xyz''=''n''(''xy''+''xz''+''yz''). || [[Erdős-Strausova domneva]] pravi, da za vsak celi ''n'' ≥ 2 obstaja rešitev, kjer so ''x'', ''y'' in ''z'' vsi [[pozitivno število|pozitivna]] cela števila.
|}
==== LinearnaLinearne diofantskadiofantske enačbaenačbe ====
Najpreprostejša linearna diofantska enačba ima obliko:
Linearne diofantske enačbe se pojavljajo v obliki ax + bx = c. Če je c največji skupni deljitelj števil a in b, potem je to [[Bézoutova enakost]]. To pomeni, da ima enačba neskončno mnogo rešitev. Te lahko najdemo z razširjenim Evklidovem algoritmom. Enačba ima neskončno mnogo rešitev tudi, če je c večkratnik največjega skupnega deljitelja števil a in b. Če c ni večkratnik največjega skupnega delitelja števil a in b, potem diofantska enačba nima rešitev. ▼
: <math> ax + by = c \!\, , </math>
▲Linearnekjer diofantskeso enačbe''a'', se''b'' pojavljajoin v''c'' oblikidana axcela + bx = cštevila. Če je ''c '' [[največji skupni deljiteljdelitelj]] števil ''a '' in ''b '', potem je to [[Bézoutova enakost]]. To pomeni, da ima enačba [[neskončnost|neskončno ]] mnogo rešitev. Te lahko najdemo z razširjenim Evklidovem[[Evklidov algoritem|Evklidovim algoritmom ]]. Enačba ima neskončno mnogo rešitev tudi, če je ''c '' večkratnik[[mnogokratnik]] največjega skupnega deljitelja števil ''a '' in ''b ''. Če ''c '' ni večkratnikmnogokratnik največjega skupnega delitelja števil ''a '' in ''b '', potem linearna diofantska enačba nima rešitev . Če je (''x'', ''y'') rešitev, imajo druge rešitve obliko (''x'' + ''kv'', ''y'' − ''ku''), ker je ''k'' poljubno celo število, ''u'' in ''v'' pa sta količnika ''a'' in ''b'' z največjim skupnim deliteljem ''a'' in ''b''.
[[Kategorija:Enačbe]]
[[Kategorija:Teorija števil]]
[[Kategorija:Diofantske enačbe|* ]]
| 