E (matematična konstanta): razlika med redakcijama

m
m/slog
m (m/slog)
 
{| border="1" style="float: right; border-collapse: collapse; width: 300px;"
| colspan="2" style="text-align: center; background: #f0ffff;" | [[Seznam števil]] – [[iracionalno število|Iracionalna števila]] <br />[[Euler-Mascheronijeva konstanta|''γ'']] - [[Apéryjeva konstanta|ζ(3)]] - [[kvadratni koren od 2|√2]] - [[število zlatega reza|Φ]] - [[kvadratni koren od 3|√3]] - [[kvadratni koren od 5|√5]] - [[srebrni rez|''δ''<sub>S</sub>]] - [[Feigenbaumovi konstanti|''α'']] - [[e (matematična konstanta)|''e'']] - [[Pipi|''π'']] - [[Feigenbaumovi konstanti|''δ'']]
|-
|[[dvojiški številski sistem|Dvojiško]]
[[Slika:Exp derivative at 0.svg|thumb|right|290px|''e'' je takšno število ''a'', da je vrednost [[odvod]]a [[eksponentna funkcija|eksponenetne funkcije]] ''f'' (''x'') = ''a<sup>x</sup>'' ([[modra|modro]]) v [[točka|točki]] ''x''&nbsp;=&nbsp;0 natanko enaka 1. Za primerjavo sta prikazani funkciji 2<sup>''x''</sup> (pikčasto) in 4<sup>''x''</sup> (prekinjeno), ki nista [[tangenta|tangentni]] [[premica|premici]] z naklonom 1 ([[rdeča|rdeče]]).]]
 
[[Matematična konstanta]] '''''e''''' (včasih imenovana '''Eulerjevo število''' po švicarskem matematiku, fiziku in astronomu [[Leonhard Euler|Leonhardu Eulerju]], ali tudi '''Napierova konstanta''' v čast škotskemu matematiku in teologu [[John Napier|Johnu Napieru]], ki je odkril [[logaritem|logaritme]]), je osnova [[naravni logaritem|naravnih logaritmov]]. Njena približna vrednost je {{OEIS|id=A001113}}:
 
: <math> e \approx 2,71828 18284 59045 23536 02874 \dots \!\, . </math>
Predstavlja maksimalni prirastek v eni časovni enoti, ko imamo opravka s 100 % kontinuirano rastjo.
 
Poleg števila [[pi|''π'']] in [[imaginarna enota|imaginarne enote ''i'']], je ''e'' ena najpomembnejših [[matematična konstanta|matematičnih konstant]]. Definirana je na različne načine, glej spodaj.
 
Opomba: poimenovanje števila ''e'' kot Eulerjevo število ne smemo zamenjevati s pojmom [[Eulerjevo število|Eulerjevih števil]] kot členov [[zaporedje|zaporedja]].
:1. Z [[limita|limito]]:
 
:: <math> e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \!\, . </math>
 
:2. Kot [[neskončna vsota|neskončna]] [[vsota]]:
 
:: <math> e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!}
+ {1 \over 2!} + {1 \over 3!}
+ {1 \over 4!} + \cdots \!\, </math>
 
:3. ''e'' je število ''x'' > 0, določeno z [[integral]]om:
 
:: <math> \int_{1}^{x} \frac{dt\mathrm{d} t}{t} = 1 \!\, . </math>
 
== Značilnosti ==
Neskončni [[verižni ulomek]] števila ''e'' vsebuje zanimiv vzorec, ki ga zapišemo kot:
 
: <math> e = [1; 0, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, \ldots] \;!\, . </math>
 
== Intuitivno razumevanje ==
Zakaj je ''e'' ravno 2,71...
 
Če želimo razumeti konstanto ''e'', moramo najprej razumeti [[eksponentna funkcija|eksponentno rast]]. Preprost zgled eksponentne rasti je razmnoževanje bakterij. Vemo, da se bakterije razmnožujejo tako, da se delijo in iz ene nastaneta dve. Tako rast opisuje enačba 2<sup>''x''</sup>. ''X'' označuje, kolikokrat je prišlo do delitve. Če smo npr. imeli na začetku eno bakterijo in je prišlo do 3-kratne zaporedne delitve, bomo na koncu dobili 8 bakterij (Slika 1). Formula 2<sup>''x''</sup> predpostavlja, da do rasti pride v zadnjem možnem trenutku. Bakterije čakajo in čakajo potem pa v enem samem trenutku iz ene nastaneta dve. Vemo, da to ni tako in da se bakterije delijo postopoma. V tem primeru to dejstvo vseeno nič ne spremeni enačbe 2<sup>''x''</sup>, saj mora bakterija dokončno zrasti, da se lahko zopet začne deliti (Slika 2).
 
[[Slika:Rast bakterij.PNG]]
: <math> e= 2+ \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \ldots \!\, , </math>
 
kjer ! pomeni [[fakulteta (funkcija)|fakulteta]] števila.
 
=== Zgodovina števila ''e'' v 17. stoletju ===
[[Jakob Bernoulli I.|Jacob Bernoulli]] je bil matematik, ki je bil bistven za odkritje števila ''e''. V 17. stoletju se je ubadal predvsem z matematičnim problemom obrestnih obresti. S proučevanjem obrestnih obresti je ugotovil, da limita leži med številoma 2 in 3. To lahko štejemo za prvi približek in definicijo števila ''e''. S tem je bil prvi, ki je definiral neko število z limito.
 
Za samo označbo števila ''e'' je odgovoren [[Leonhard Euler]]. Velja za enega najpomembnejših matematikov 18. stoletja. Njegova odkritja sežejo na različna področja matematike, npr. teorija števil in teorija grafov. Uvedel je veliko sodobnih matematičnih pojmov in oznak; v matematični analizi, npr. pojem [[funkcija|funkcije]]. Euler je raziskoval značilnosti števila ''e'' in pravzaprav dal številu ''e'' trenutno označbo. Euler je dokazal, da je ''e'' limita (1+1/''n'')<sup>''n''</sup>, ko gre ''n'' proti neskončnosti. Prav tako je določil 23 decimalnih mest števila ''e''. Avtor Maor je mnenja, da je oznaka ''e'' pravzaprav okrajšava za besedo eksponentno. Hkrati pa so bile črke od a do d že uporabljene kot matematični simboli, tako je prišlo do označbe z naslednjo prosto črko, e.
 
== Zanimivosti ==
* [http://sources.wikipedia.org/wiki/E_to_10,000_places Wikisource - ''e'' na 10.000 mest]
* [http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/e.html Število ''e'' (zgodovina)]
* [[Eric Wolfgang Weisstein|Weisstein, Eric Wolfgang]], [http://mathworld.wolfram.com/e.html ''e''] na [[MathWorld]] {{ikona en}}
 
[[Kategorija:Matematične konstante]]