121.234
urejanj
Gaussova konstanta: razlika med redakcijama
m
m+
m (m/dp) |
m (m+) |
||
|
'''Gaussova konstánta''' [gáusova ~] (oznaka ''G'') je v [[matematika|matematiki]] [[matematična konstanta|konstanta]], določena kot [[recipročna vrednost|obratna vrednost]] [[aritmetično-geometrična sredina|aritmetično-geometrične sredine]] [[število|števila]] [[1 (število)|1]] in [[kvadratni koren od 2|kvadratnega korena od 2]] {{OEIS|id=A014549}}:
: <math> G = \frac{1}{\operatorname{M}(1, \sqrt{2})} =
0,8346268416740731862814297327990468 \ldots \!\, . </math>
Imenuje se po [[Carl Friedrich Gauss|Carlu Friedrichu Gaussu]], ki je 30. maja [[1799 v znanosti|1799]] odkril zvezo:
S pomočjo Gaussove konstante lahko določimo lemniskatini konstanti:
: <math> L_{1} = \pi G = \frac{\pi}{M} \!\, , </math>
: <math> L_{2} \,\,=\,\,\frac{1}{2G} = \frac{M}{2} \!\, , </math>
ki se pojavljata pri določevanju [[dolžina loka|dolžine loka]] [[Bernoullijeva lemniskata|(Bernoullijeve) lemniskate]].
: <math>
Gauss je izvirno obravnaval prvo lemniskatino konstanto <math> L_{1}\, </math> in jo označeval z ϖ, po analogiji z vrednostima integralov:
: <math> \varpi \equiv L_{1} = 2 \int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x^{4}}} = 2,6220575542921198104648395898911194 \ldots \!\, , </math> {{OEIS|id=A062539}},
: <math> \pi = 2 \int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x^{2}}} \!\, . </math>
: <math> G = \int_0^{\infty}{\frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{\cosh \pi x }}} \!\, . </math>
Neskončni [[verižni ulomek]] Gaussove konstante je {{OEIS|id=A053002}}:
: <math> G = [0; 1,5,21,3,4,14,1,1,1,1,1,3,1,15,1,3,8,36,1,\cdots] \!\, . </math>
Ker Gaussova konstanta ''G'' ni [[kvadratno iracionalno število]], njen verižni ulomek ni [[periodični verižni ulomek|periodičen]].
| |||