Gaussova konstanta: razlika med redakcijama

m
m/dp
(N)
 
m (m/dp)
'''Gaussova konstanta''' (oznaka ''G'') je v [[matematika|matematiki]] [[matematična konstanta|konstanta]], določena kot [[obratna vrednost]] [[aritmetično-geometrična sredina|aritmetično-geometrične sredine]] [[število|števila]] [[1 (število)|1]] in [[kvadratni koren od 2|kvadratnega korena od 2]]:
 
: <math> G = \frac{1}{\mathrmoperatorname{agm}(1, \sqrt{2})} = 0,8346268\ldots \!\, . </math> {{OEIS|id=A014549}}
 
Konstanta se imenuje po [[Carl Friedrich Gauss|Carlu Friedrichu Gaussu]], ki je 30. maja [[1799 v znanosti|1799]] odkril zvezo:
 
: <math> G = \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{{\mathrm {d} x}{\sqrt{1 - x^4}} \!\, , </math>
 
tako, da je
 
: <math> G = \frac{1}{2\pi}B( \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2}) \!\, , </math>
 
kjer je ''B'' [[funkcija beta]].
S pomočjo Gaussove konstante lahko določimo lemniskatini konstanti:
 
: <math> L_{1} = \pi G \!\, , </math>
 
: <math> L_{2} \,\,=\,\,\frac{1}{2G} \!\, , </math>
ki se pojavljata pri določevanju [[dolžina loka|dolžine loka]] [[Bernoullijeva lemniskata|(Bernoullijeve) lemniskate]]. Gauss je izvirno obravnaval prvo lemniskatino konstanto <math> L_{1}\, </math> in jo označeval z ϖ, po analogiji z vrednostima integralov:
 
: <math> \varpi \equiv L_{1} = 2 \int_{0}^{1}\frac{{\mathrm {d} x}{\sqrt{1-x^{4}}} = 2,62205755429211981046\ldots \!\, </math> {{OEIS|id=A062539}}
 
: <math> \pi = 2 \int_{0}^{1}\frac{{\mathrm {d} x}{\sqrt{1-x^{2}}} \!\, . </math>
 
Algebrsko neodvisnost <math>\Gamma(1/4)\, </math> in <math>G\, </math> od <math>\pi\, </math> je leta 1975 pokazal [[Gregory Chudnovsky]].<ref>{{sktxt|Chudnovsky|1975}}.</ref><ref>{{sktxt|Chudnovsky|1984|pp=8}}.</ref>
Pojavi se pri izračunavanju [[integral]]ov:
 
: <math> {\frac{1}{G}} = \int_0^{\pi/2}\sqrt{\sin x}{ \mathrm, \mathrm{d} x=\int_0^{\pi/2}\sqrt{\cos x}{ \mathrm, \mathrm{d} x \!\, , </math>
 
: <math> G = \int_0^{\infty}{\frac{{\mathrm {d} x}{\sqrt{\cosh \pi x }}} \!\, . </math>
 
Neskončni [[verižni ulomek]] Gaussove konstante je enak: