121.234
urejanj
Gaussova konstanta: razlika med redakcijama
m
m/dp
(N) |
m (m/dp) |
||
|
'''Gaussova konstanta''' (oznaka ''G'') je v [[matematika|matematiki]] [[matematična konstanta|konstanta]], določena kot [[obratna vrednost]] [[aritmetično-geometrična sredina|aritmetično-geometrične sredine]] [[število|števila]] [[1 (število)|1]] in [[kvadratni koren od 2|kvadratnega korena od 2]]:
: <math> G = \frac{1}{\
Konstanta se imenuje po [[Carl Friedrich Gauss|Carlu Friedrichu Gaussu]], ki je 30. maja [[1799 v znanosti|1799]] odkril zvezo:
: <math> G = \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac
tako, da je
: <math> G = \frac{1}{2\pi}B( \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2}) \!\, , </math>
kjer je ''B'' [[funkcija beta]].
S pomočjo Gaussove konstante lahko določimo lemniskatini konstanti:
: <math> L_{1} = \pi G \!\, , </math>
: <math> L_{2} \,\,=\,\,\frac{1}{2G} \!\, , </math>
ki se pojavljata pri določevanju [[dolžina loka|dolžine loka]] [[Bernoullijeva lemniskata|(Bernoullijeve) lemniskate]]. Gauss je izvirno obravnaval prvo lemniskatino konstanto <math> L_{1}\, </math> in jo označeval z ϖ, po analogiji z vrednostima integralov:
: <math> \varpi \equiv L_{1} = 2 \int_{0}^{1}\frac
: <math> \pi = 2 \int_{0}^{1}\frac
Algebrsko neodvisnost <math>\Gamma(1/4)\, </math> in <math>G\, </math> od <math>\pi\, </math> je leta 1975 pokazal [[Gregory Chudnovsky]].<ref>{{sktxt|Chudnovsky|1975}}.</ref><ref>{{sktxt|Chudnovsky|1984|pp=8}}.</ref>
Pojavi se pri izračunavanju [[integral]]ov:
: <math> {\frac{1}{G}} = \int_0^{\pi/2}\sqrt{\sin x}
: <math> G = \int_0^{\infty}{\frac
Neskončni [[verižni ulomek]] Gaussove konstante je enak:
| |||