Praštevilski izrek: Razlika med redakcijama

Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m m/pnp/slog
m+/siz
Vrstica 1:
{{zvezdica}}
 
'''Práštevílski izrèk''' (tudi '''izrèk o gostôti práštevíl''') je v [[matematika|matematiki]] [[izrek]] o [[asimptotičnost|asimptotični]] [[porazdelitev|porazdelitvi]] [[praštevilo|praštevil]]. Praštevilski izrek podaja splošni opis kako so praštevila porazdeljena med pozitivnimi celimi števili. Formalizira intuitivno zamisel, da se z večanjem ''n'' praštevila pojavljajo vse redkeje.
 
Praštevilski izrek v grobem pravi, da če [[naključje|naključno]] izberemo poljubno [[število]] blizumed nekega[[0]] velikegain številanekim velikim številom ''n'', je [[verjetnost]], da bo to število praštevilo, enaka približno 1 / ln ''n'', kjer ln ''n'' označuje [[naravni logaritem]] števila ''n''. Zaradi tega bo verjetnost, da bo naključno celo število z največ 2''n'' števkami (za dovolj veliki ''n'') praštevilo za polovico manjša od verjetnosti za naključno celo število z največ ''n'' števkami. Na primer za ''n'' = 101.000 je približno eno od devetihsedmih števil praštevilo (ln&nbsp;10<sup>3</sup> ≈ 6.9), za ''n'' = 10.000 približno eno od devetih števil (ln&nbsp;10<sup>4</sup> ≈ 9,2), za ''n'' = 1.000.000.000 pa je le eno praštevilo med 21-mi izbranimi števili (ln&nbsp;10<sup>9</sup> ≈ 20,7). Med pozitivnimi celimi števili z največ 1000 števkami, bo približno eno od 2300 števil praštevilo (ln&nbsp;10<sup>1000</sup> ≈ 2302,6), med pozitivnimi celimi števili z največ 2000 števkami pa približno eno od 4600 števil (ln&nbsp;10<sup>2000</sup> ≈ 4605,2). Povprečna [[praštevilska vrzel|vrzel]] med zaporednima prašteviloma med prvimi ''n'' celimi števili je približno ln ''n''.<ref>Hoffman (1998), str. 227.</ref>{{rp|227}}
 
::: Razvidno je, da so praštevila porazdeljena naključno, vendar na žalost ne vemo kaj 'naključno' pomeni.
:::::: -- R.C. Vaughan (februar 1990).
 
== Vsebina izreka ==
[[Slika:Prime number theorem ratio convergence.svg|thumb|right|200px|Graf, ki kaže razmerje med [[aritmetična funkcija|aritmetično funkcijo]] [[število praštevil|številom praštevil]] π(''ξ'') in dvema njenima približkoma, ''ξ'' / ln ''ξ'' in Li(''ξ''). Ko se ''ξ'' povečuje (pri tem je ''x''-os logaritemska), se obe razmerji približujeta [[1 (število)|1]]. Razmerje za ''ξ'' / ln ''ξ'' [[konvergenca|konvergira]] od zgoraj zelo počasi, razmerje za Li(''ξ'') pa konvergira hitreje od spodaj.]]
[[Slika:Prime number theorem absolute error.svg|thumb|right|200px|Graf z obema logaritemskima osema kaže [[absolutna napaka|absolutno napako]] ''ξ'' / ln ''ξ'' in Li(''ξ''), dveh približkov za število praštevil π(''ξ''). Za razliko od razmerij razliki z naraščajočim ''ξ'' naraščata brez meja.]]
 
π(''ξ'') je [[aritmetična funkcija]] [[število praštevil]], ki podaja število praštevil manjših ali enakih ''ξ'' za poljubno [[realno število]] ''ξ''. π(10) = 4, saj so štiri praštevila (2, 3, 5 in 7) manjša ali enaka 10. Praštevilski izrek pravi, da je ''ξ'' / ln ''ξ'' dober približek za π(''ξ'') v smislu, da je [[limita]] ''kvocienta'' funkcij π(''ξ'') in ''ξ'' / ln ''ξ'' enaka 1, ko se ''ξ'' približuje [[neskončnost]]i:
 
: <math> \lim_{\xi\to +\infty}\frac{\pi(\xi)}{\xi/\ln\,\xi}=1 \!\, .</math>
 
S pomočjo [[O notacija|asimptotskega zapisa]] lahko izrek zapišemo kot:
Izrek sam ne pove nič o limiti ''razlik'' dveh funkcij, ko ''ξ'' narašča v neskončnost. Obnašanje te razlike je zapleteno in je povezano z [[Riemannova domneva|Riemannovo domnevo]]. Izrek izjavlja, da je ''ξ'' / ln ''ξ'' približno enako π(''ξ'') v smislu, da se [[relativna napaka]] tega približka približuje 0, ko ''ξ'' naraste prek vseh meja.
 
: <math>\pi(\xi)\sim\frac{\xi}{\ln \xi} \!\, . </math>
 
IzrekTa zapis in izrek sam ne povepovesta nič o limiti ''razlik'' dveh funkcij, ko ''ξ'' narašča v neskončnost. Obnašanje te razlike je v resnici zapleteno in je povezano z [[Riemannova domneva|Riemannovo domnevo]]. Izrek izjavlja, da je ''ξ'' / ln ''ξ'' približno enako π(''ξ'') v smislu, da se [[relativna napaka]] tega približka približuje 0, ko ''ξ'' naraste prek vseh meja.
 
Praštevilski izrek je enakovreden izjavi, da je ''n''-to praštevilo ''p''<sub>''n''</sub> približno enako ''n'' ln ''n'', kjer se spet relativna napaka približuje 0, ko ''n'' narašča v neskončnost.
 
The prime number theorem is equivalent to the statement that the ''n''th prime number ''p''<sub>''n''</sub> is approximately equal to ''n''&nbsp;ln(''n''), again with the relative error of this approximation approaching 0 as ''n'' approaches infinity.
 
 
== Eulerjeva obravnava ==
Vrstica 186 ⟶ 195:
= {\rm ei} (\ln \xi) \!\, , </math>
 
kjer je ei<math>(\xi)</math> [[eksponentni integral]]. Logaritemski integral močno namiguje na predstavo o tem da je 'gostota' praštevil okrog ''t'' enaka 1 / ln''t''. Ta funkcija je povezana z logaritmom s Poincaréjevim, oziroma asimptotičnim razvojem:
 
: <math> \mbox{Li}(\xi) = \frac{\xi}{\ln \xi} \sum_{k=0}^\infty \frac{k!}{(\ln \xi)^k}
Vrstica 214 ⟶ 223:
== Razpredelnica funkcij π(''ξ''), ''ξ'' / ln ''ξ'' in Li(''ξ'') ==
 
Naslednja razpredelnica kaže kako se obnašajo tri funkcije (π(''ξ''), ''ξ'' / ln(''ξ'') in Li(''ξ'')). Zadnji stolpec, ''ξ'' / π(''ξ'') je povprečna [[praštevilska vrzel]] za praštevila, manjša od ''ξ'':
{| class="wikitable" style="text-align: right"
! ''ξ''
Vrstica 222 ⟶ 231:
| work = [[Spletna enciklopedija celoštevilskih zaporedij|OEIS]]
}}</ref>
! π(''ξ'') - ''ξ'' / ln(''ξ'')<ref>{{navedi splet
| url = http://www.research.att.com/projects/OEIS?Anum=A057835
| title = Razlika med pi(10^n) in celim številom, najbližjim k 10^n / log(10^n) (A057835)
| work = OEIS
}}</ref>
! π(''ξ'') / (''ξ'' / ln ''ξ'')
! Li(''ξ'') - π(''ξ'')<ref>{{navedi splet
| url = http://www.research.att.com/projects/OEIS?Anum=A057752
Vrstica 233 ⟶ 242:
| work = OEIS
}}</ref>
! ''ξ'' / π(''ξ'')
|-
|10<sup>1</sup> || 4 || -0,3 || 0,921 || 2,2 || 2,500
Vrstica 280 ⟶ 289:
|-
|10<sup>23</sup> || 1.925.320.391.606.818.006.727 || 37.083.513.766.592.669.113 || 1,020 || 7.236.148.412 || 51,939
|-
|10<sup>24</sup> || 18.435.599.767.349.200.867.866 || 339.996.354.713.708.049.069 ||| 1,019 || 17.146.907.277 || 54,243
|-
| [[Spletna enciklopedija celoštevilskih zaporedij|OEIS]] || {{OEIS2C|id=A006880}} || {{OEIS2C|id=A057835}} || &nbsp; || &nbsp; || {{OEIS2C|id=A057752}}
|}
Vrednost za π(10<sup>24</sup>) je bila izvirno izračunana s privzetkom veljavnosti [[Riemannova domneva|Riemannove domneve]];<ref name="Franke">{{navedi splet|title= Conditional Calculation of pi(10<sup>24</sup>)|url= http://primes.utm.edu/notes/pi(10%5E24).html|publisher= Chris K. Caldwell|accessdate= 2010-08-03|language= v angleščini}}</ref> nato so jo preverili brezpogojno.<ref name="platt_2012">Platt (2012).</ref>
 
Kot posledica praštevilskega izreka dobimo asimptotično oceno za n-to praštevilo ''p''(''n''):
: <math>p(n)\sim n\ln(n). </math>
 
Vidimo lahko tudi, da bo naključno izbrano število ''n'' praštevilo z [[verjetnost]]jo 1 / ln(''n'').
 
== Riemannova razširitev in dokaz ==
Vrstica 549 ⟶ 562:
| accessdate = 2012-07-13
}}
* {{navedi revijo|last1= Hardy |first1= Godfrey Harold|authorlink1=Godfrey Harold Hardy|last2= Littlewood|first2= John Edensor|authorlink2=John Edensor Littlewood|lastauthoramp= yes|year= 1916|title= Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes|journal= [[Acta Mathematica]]|volume= 41|issue= |pages=119–196 |doi=10.1007/BF02422942}}
* {{navedi knjigo|last= Hoffman|first= Paul|title= The Man Who Loved Only Numbers|publisher= Hyperion|year= 1998|page= 227|isbn= 0-7868-8406-1}}
* {{navedi knjigo|last=Ingham|first=A. E.|title=The Distribution of Prime Numbers|publisher=Cambridge University Press|date=1990|isbn=0-521-39789-8}}
* {{navedi revijo|last= Platt|first= David J.|title= Computing π(x) Analytically)|url= http://arxiv.org/abs/1203.5712|accessdate= 2012-07-25|id={{arxiv|1203.5712}}}}
* {{navedi revijo|last=Rosser|first=John Barkley|authorlink=John Barkley Rosser|title=Explicit Bounds for Some Functions of Prime Numbers|journal=[[American Journal of Mathematics]]|volume=63|issue=1|year=januar 1941|pages=211-232}}
* {{navedi revijo|last=Schoenfeld|first=Lowell|authorlink=Lowell Schoenfeld|title=Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ(''x'') and ψ(''x''), II|journal=Mathematics of Computation|date=april 1976|volume=30|issue=134|pages=337–360}}
* {{navedi revijo|last=Sudac|first=Olivier|title=The prime number theorem is PRA-provable|year=april 2001|journal=Theoretical Computer Science|volume=257|issue=1–2|pages=185-239}}
* {{navedi knjigo|last=Vardi|first=Ilan|title=An introduction to Analytic Number Theory|year=1998|publisher= |location= |url=http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/vardi.html}}
* {{navedi revijo||last=Von Koch|first=Helge|authorlink=Helge von Kochtitle=Sur la distribution des nombres premiers|journal=[[Acta Mathematica]]|volume=24|issue=1|year=december 1901|pages=159-182}}
 
== Zunanje povezave ==