Keplerjeva domneva: Razlika med redakcijama

Domnevo je leta [[1611 v znanosti|1611]] podal [[Johannes Kepler]] v delu ''O šestoglati snežinki'' (''Strena sue de nive sexangula''). Kepler je začel raziskovati razporeditve krogel med svojim dopisovanjem s [[Thomas Harriot|Thomasom Harriotom]] leta [[1606]]. Harriot je bil prijatelj [[Walter Raleigh|Walterja Raleigha]], ki je postavil problem Harriotu o najboljši razporeditvi [[top]]ovskih krogel na [[ladja|ladijskih]] krovih. Harriot je objavil delo o različnih vzorcih pakiranja leta [[1591]] in bil eden od pionirjev [[atomska teorija|teorije]] o [[atom]]ih.

[[Thomas Callister Hales]], trenutno [[Andrew William Mellon|Mellon]]ov profesor matematike na [[Univerza v Pittsburghu|Univerzi v]] [[Pittsburgh, Pensilvanija|Pittsburgh]]u, je leta [[1998]] podal [[matematični dokaz|dokaz]] Keplerjeve domneve. Njegov dokaz z grobo silo preverja posamezne primere s pomočjo [[računalnik]]a in menijo da je njegova pravilnost 99 %.

Kepler ni imel dokaza za svojo domnevo. [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] je leta [[1831]] objavil delno rešitev. Dokazal je, da je Keplerjeva domneva resnična, če se krogle razporedijo v pravilno mrežo. To je pomenilo, da mora biti vsaka razporeditev, za katero Keplerjeva domneva ne bi veljala, nepravilna. Izločevanje nepravilnih razporeditev je zelo težko, zato je dokaz Keplerjeve domneve tako trd oreh. Dejansko obstajajo nepravilne razporeditve, ki imajo v dovolj majhni prostornini celo večjo gostoto od kubičnega pakiranja, vendar je gostota na večji prostornini vedno manjša.

[[David Hilbert|Hilbert]] je dal problem leta [[1900]] na svoj seznam [[Hilbertovi problemi|triindvajsetih nerešenih matematičnih problemov]]. Keplerjeva domneva je tretji del [[Hilbertov osemnajsti problem|Hilbertovega osemnajstega problema]].

[[László Fejes Tóth|László Tóth]] je leta [[1953]] pokazal, da se lahko problem določanja največje gostote porazdelitev (pravilnih in nepravilnih) prevede na [[končna množica|končno]] (vendar zelo veliko) število računanj. To je pomenilo, da je dokaz z grobo silo načeloma izvedljiv. Tóth je uvidel, da lahko dovolj hiter računalnik ta teoretični rezultat obrne v praktični pristop k problemu.

Medtem so poskušali poiskati zgornjo mejo za največjo gostoto poljubne razporeditve krogel. [[Claude Ambrose Rogers|Rogers]] je leta [[1958]] podal vrednost zgornje meje približno 78 %. Tudi drugi matematiki so to vrednost še malo znižali, vendar je bila še vedno precej višja od gostote 74 % kubičnega gostega pakiranja.

Podali so tudi nekaj nepravilnih dokazov. [[Buckminster Fuller|Fuller]], znani ameriški arhitekt, je leta [[1975]] trdil, da ima dokaz, vendar so kmalu ugotovili, da je napačen. V letu [[1993]] je [[Wu-Yi Hsiang|Hsiang]] z [[Univerza Kalifornije, Berkeley|Univerze Kalifornije]] v [[Berkeley, Kalifornija|Berkeley]]ju objavil članek, v katerem je trdil da je s pomočjo geometrijskih metod dokazal keplerjevoKeplerjevo domnevo. Nekateri so trdili, da so bile nekatere navedbe premalo podprte. Čeprav niso našli nič nepravilnega v Hsiangovem delu, so dosegli dogovor, da je njegov dokaz nepopoln. Eden od najbolj glasnih kritikov je bil Hales, ki je tedaj delal na svojem dokazu.

Hales je, tedaj na [[Univerza Michigana|Univerzi Michigana]] v [[Ann Arbor, Michigan|Ann Arbor]]ju, prek Tóthovega pristopa ugotovil, da je moč največjo gostoto vseh razporeditev najti z najmanjšo mejo [[funkcija|funkcije]] s 150 spremenljivkami. V letu [[1992]] je s pomočjo asistenta Samuela Fergusona začel raziskovalni program s sistematično obravnavo metod [[linearno programiranje|linearnega programiranja]] za ugotavljanje spodnje meje vrednosti te funkcije za vsako [[množica|množico]] od več kot 5000 različnih možnih razporeditev krogel. Če bi se lahko našla spodnja meja (za funkcijsko vrednost) za vsako od teh razporeditev in bi bila večja od funkcijske vrednosti za kubično gosto pakiranje, bi bila Keplerjeva domneva dokazana. Iskanje spodnjih mej za vse primere je obsegalo približno 100.000 problemov linearnega programiranja.