Funkcija gama: razlika med redakcijama

dodanih 40 zlogov ,  pred 8 leti
m
m/pnp/pp/slog
m (Bot: Migracija 41 interwikija/-ev, od zdaj gostuje(-jo) na Wikipodatkih, na d:q190573)
m (m/pnp/pp/slog)
[[Slika:Gamma.png|thumb|right|250px|Graf funkcije Γ na [[realnaštevilska ospremica|realni osipremici]]]]
[[Slika:Gamma abs.png|thumb|right|250px|[[Absolutna vrednost]] funkcije Γ v [[kompleksna ravnina|kompleksni ravnini]]]]
[[Slika:Complex_gamma.jpg||thumb|right|250px|Razširjena različica funkcije Γ v kompleksni ravnini]]
'''Fúnkcija gáma''' je v [[matematika|matematiki]] [[specialna funkcija|specialna]] [[funkcija]], ki razširja pojem [[fakulteta (funkcija)|fakultete]] na [[kompleksno število|kompleksna števila]]. Zapisa se je domislil [[Adrien-Marie Legendre]], funkcijo samo pa je uvedel [[Leonhard Euler]]. Če je [[realno število|realni]] del kompleksnega števila ''z'' [[pozitivno število|pozitiven]], potem [[integral]]:
 
: <math> \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\,dt \mathrm{d} t \!\, </math>
 
[[konvergenca|konvergira]] absolutno. Z [[integracija po delih|integracijo po delih]] je moč pokazati, da velja:
 
: <math> \Gamma(z+1)=z\Gamma(z) \!\, . </math>
 
Ker je Γ(1) = 1, odtod sledi:
 
: <math> \Gamma(n+1) = n! \!\, </math>
 
za vsa [[naravno število|naravna števila]] ''n''. Z [[analitično nadaljevanje|analitičnim nadaljevanjem]] je moč razširiti Γ(''z'') v [[meromorfna funkcija|meromorfno funkcijo]] definirano za vsa kompleksna
Funkcija gama nima [[ničla funkcije|ničel]]. Morda najbolj znana vrednost funkcije gama pri necelih številih je:
 
: <math> \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi} \!\, . </math>
 
Funkcija gama ima [[pol (kompleksna analiza)|pol]] reda 1 pri ''z'' = −''n'' za vsako naravno število ''n''; [[residuum]] je tam podan kot:
 
: <math> \operatorname{Res}(\Gamma,-n) = \frac{(-1)^n}{n!} \!\, . </math>
 
Naslednja [[multiplikativna funkcija|multiplikativna]] oblika funkcije gama velja za vsa kompleksna števila ''z'', ki niso nepozitivna [[celo število|cela števila]]:
 
: <math> \Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n} \!\, . </math>
 
Tu je γ [[Euler-Mascheronijeva konstanta]].
Iz funkcionalne enačbe lahko izpeljemo:
 
: <math> \begin{align}
\Gamma\left( x\right) & =\frac{\Gamma\left( x+1\right)}{x}=\frac{\Gamma\left( x+2\right)}{x\left( x+1\right) }=\ldots \\
& = \frac{\Gamma\left( x+k+1\right)}{x\left( x+1\right) \left( x+2\right) \ldots \left( x+k\right) } \!\, ,
== Posebne vrednosti funkcije Γ ==
 
: <math>
\begin{array}{lll}
\Gamma(-3/2) &= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} &\approx 2,363 \\
== Zunanje povezave ==
 
* [http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html Funkcija gama] na [[MathWorld]] {{ikona en}}
 
[[Kategorija:Specialne funkcije|Gama, funkcija]]