Logaritem: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m Bot: Migracija 79 interwikija/-ev, od zdaj gostuje(-jo) na Wikipodatkih, na d:q11197 |
m m/+siz/+zp |
||
Vrstica 1:
[[Slika:Graf logaritemske funkcije.PNG|thumb|right|
[[Slika:Logarithm chart.png|thumb|right|250px|Logaritem števil 0-10. Na ''x''-osi je osnova, na ''y''-osi je eksponent]]
'''Logarítem''' oziroma '''logaritemska funkcija''' je v [[matematika|matematiki]] [[funkcija]], ki iz eksponentne [[enačba|enačbe]] <math>a^y = x</math> vrne [[eksponent]] <math>y</math>. Zapišemo jo v obliki <math>y = \log_a x</math>, kjer sta <math>a, x \in \R^+</math>. To beremo ''logaritem x z osnovo a''. <math>x</math> imenujemo logaritmand ali pa [[argument]].
Vrstica 7 ⟶ 8:
Logaritemska funkcija je definirana le za [[pozitivno število|pozitivna števila]], njena [[zaloga vrednosti]] pa so vsa [[realno število|realna števila]]:
: <math> \log_a: \R^+ \longrightarrow \R \!\, . </math>
Zgledi:
: <math> \log_2 8 = 3, \log_5 125 = 3, \log_2 \left (\frac{1}{16} \right ) = -4 \!\, . </math>
: <math> \log_3 \sqrt {27} = \log_3 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} \!\, . </math>
'''Antilogaritmiranje''' je postopek, s katerim zapletenejši logaritemski izraz predelamo v eksponentno enačbo. To nam omogoča lažje reševanje.
Vrstica 19 ⟶ 20:
Zgleda:
{| cellspacing="5" |
| valign="top" | <math> \log_2 \sqrt 2 = x \!\, </math> <br />
<math> 2^x = \sqrt 2 \!\, </math> <br />
<math> 2^x = 2^{\frac{1}{2}} \!\, </math>
<math>x = \frac{1}{2}</math>
| width="50" |
| valign="top" | <math> \log_x (x + 2) = 2 \!\, </math> <br />
<math> x^2 = x + 2 \!\, </math> Dobimo kvadratno enačbo.<br />
<math> x^2 - x - 2 = 0 \!\, </math><br />
<math> (x - 2) (x + 1) = 0 \!\, </math>
<math> x_1 = 2 \!\, </math> <br />
<math> x_2 = -1 \!\, </math> Ta rešitev odpade, ker je osnova pri eksponentni funkciji definirana kot pozitivno število. <br />
<math> R = \{ 2 \} \!\, </math>
|}
Vrstica 41 ⟶ 42:
=== Vsota logaritmov ===
: <math> \log_a x + \log_a y = \log_a (xy) \!\, . </math>
Dokaz:
: <math> \log_a x = d; \log_a y = e \Longrightarrow a^d=x; a^e=y \!\, </math>
: <math> xy=a^d\cdot a^e=a^{d+e} /\log_a \!\, </math>
: <math> \log_a(xy)=\log_a a^{d+e}=d+e=\log_a x + \log_a y \!\, </math>
=== Razlika logaritmov ===
: <math> \log_a x - \log_a y = \log_a \left (\frac{x}{y} \right ) \!\, </math>
Dokaz:
: <math> \log_a x = d; \log_a y = e \Longrightarrow a^d=x; a^e=y \!\, </math>
: <math> \frac{x}{y}=\frac{a^d}{a^e}=a^{d-e} /\log_a \!\, </math>
: <math> \log_a\frac{x}{y}=\log_a a^{d-e}=d-e=\log_a x - \log_a y \!\, </math>
=== Množenje logaritma s konstanto ===
: <math> r \log_a x = \log_a x^r</math>; <math>r\in\R \!\, </math>
Dokaz:
: <math> \log_a x=b \Longrightarrow a^b=x \!\, </math>
: <math> x^y=(a^b)^y=a^{by} /\log_a \!\, </math>
: <math> \log_a x^y=\log_a a^{by}= by=y\log_a x \!\, </math>
== Logaritmi z različnimi osnovami ==
Vrstica 89 ⟶ 90:
Dokaz:
: <math> \log_a b = \frac{\log_b b}{\log_b a} \!\, </math>
: <math> \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \!\, </math>
: <math> \log_a b\cdot\log_b a =1 \!\, </math>
== Glej tudi ==
Vrstica 103 ⟶ 104:
== Zunanje povezave ==
* [http://www.praktik.si/ShowGroups.aspx?categoryID=48 Praktik.si: Video razlaga logaritma]▼
{{Wikislovar|logaritem|Logaritem}}
▲* [http://www.praktik.si/ShowGroups.aspx?categoryID=48 Praktik.si: Video razlaga logaritma]
* [http://mathworld.wolfram.com/Logarithm.html Logaritem] na [[MathWorld]] {{ikona en}}
[[Kategorija:Elementarne funkcije]]
| |||