Laplaceov operator: Razlika med redakcijama

dodanih 3.141 zlogov ,  pred 8 leti
dp+/tn
m (dp+)
(dp+/tn)
'''Laplaceov operátor''' [laplásov ~] (tudi '''laplacianlaplasian''' in redkeje operator delta) je v [[vektorski račun|vektorskem računu]] [[skalar]]ni [[diferencialni operator]] [[skalarna funkcija|skalarne funkcije]] φ. Je enak [[vsota|vsoti]] vseh drugih [[parcialni odvod|parcialnih odvodov]] odvisne spremenljivke.
 
To odgovarja [[divergenca|div]] ([[gradient|grad]] φ), zato tudi uporaba simbola [[del]] (operator [[nabla]]), ki ga predstavlja:
 
Laplaceov operator se na primer pojavlja v [[Laplaceova enačba|Laplaceovi]], [[Poissonova enačba|Poissonovi]], [[Poisson-Boltzmannova enačba|Poisson-Boltzmannovi]], [[Helmholtzova enačba|Helmholtzovi]] ali [[valovna enačba|valovni enačbi]].
 
== Značilnosti ==
 
Laplaceov operator je [[linearnost|linearen]]:
 
: <math>\nabla^2(fg)=(\nabla^2f)g+2(\nabla f)\cdot(\nabla g)+f(\nabla^2g) \!\, . </math>
 
== Posplošitve ==
 
Lapleceov operator na 0-formi se z [[posplošeni Laplaceov operator|posplošenim Laplaceovim operatorjem]] zapiše kot:
 
: <math>*\mathbf(d) \left( *\mathbf(d) f^{(0)} \right) \equiv \Delta f^{(0)} \!\, . </math><ref name="cadez_2011">Čadež (2011), str. 158.</ref>{{rp|158}}
 
Laplaceov operator se lahko posploši na več drugih načinov. [[d'Alembertov operator]] (<math>\square \,</math>) je definiran na [[prostor Minkowskega|prostoru Minkowskega]]. [[Laplace-Beltramijev operator]] (<math>\Delta \, </math>) je eliptični diferencialni operator 2. reda na vsaki [[Riemannova mnogoterost|Riemannovi mnogoterosti]]. Laplace-Beltramijev operator na [[funkcija|funkciji]] je [[sled matrike|sled]] njene [[Hessova matrika|Hessove matrike]]:
 
: <math> \Delta f = \mathrm{sl}(H(f)) \!\, , </math>
 
kjer je sled vzeta glede na inverz [[metrični tenzor|metričnega tenzorja]]. Laplace-Beltramijev operator se lahko posploši tudi na operator (prav tako imenovan Laplace-Beltramijev operator), ki deluje na [[tenzorsko polje|tenzorska polja]] s podobnim obrazcem.
 
[[Laplace-de Rahmov operator]] deluje na prostore [[diferencialna forma|diferencilnih form]] na [[psevdoriemannova ploskev|psevdoriemannovih ploskvah]]. Z Laplace-Beltramijevim operatorjem je povezan prek [[Weitzenböckova identite|Weitzenböckove identitete]]. Laplace-de Rahmov operator je na Riemannovi mnogoterosti [[eliptični operator|eliptičen]], na [[Lorentzova mnogoterost|Lorentzovi mnogoterosti]] pa [[hiperbolični operator|hiperboličen]]. Določen je kot:
 
: <math> \Delta= \mathrm{d}\delta+\delta\mathrm{d} = (\mathrm{d}+\delta)^{2} \!\, , </math>
 
kjer je d [[zunanji odvod]] ali diferencial, δ pa je [[kodiferencial]], ki deluje kot {{nowrap|1=(&minus;1)<sup>''kn''+''n''+1</sup>&lowast;''d''&lowast;}} na ''k''-forme, kjer je ∗ [[Hodgeov dual]], oziroma Hodgeov operator zvezdica.
 
Pri računanju Δƒ za skalarno funkcijo ƒ, je δƒ = 0, tako da velja:
 
: <math> \Delta f = \delta \, df \!\, . </math>
 
Do skupnega predznaka je Laplace-de Rhamov operator enakovreden definiciji Laplace-Beltramijevega operatorja, ko deluje na skalarno funkcijo. Na funkcijah je Laplace-de Rhamov operator dejansko negativ Laplace-Beltramijevega operatorja, saj običajna normalizacija kodiferenciala zagotavlja, da je Laplace-de Rhamov operator (formalno) pozitivno definiten, Laplace-Beltramijev operator pa je običajno negativen. Predznak je le dogovor, v virih velikokrat se pojavljata oba. Laplace-de Rhamov operator se precej razlikuje od tenzorskega Laplaceovega operatorja, ki je omejen na poševnosimetrične tenzorje. Poleg priložnostnega predznaka se operatorja razlikujeta z Weitzenböckovo identiteto, ki eksplicitno vsebuje [[Riccijev tenzor ukrivljenosti]].
 
== Opombe in sklici ==
{{opombe}}
 
== Viri ==
 
* {{navedi knjigo|last=Čadež|first=Andrej|authorlink=Andrej Čadež|title=Teorija gravitacije|series=Matematika - fizika: zbirka univerzitetnih učbenikov in monografij, ISSN 1408-1570; (49)|year=2011|publisher=DMFA - založništvo|location=Ljubljana|isbn=978-961-212243-0|issn=1408-1571|cobiss=256557568}}
 
[[Kategorija:Matematična analiza]]