Praštevilski izrek: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m dp/slog |
|||
Vrstica 28:
kjer so ''k'' [[pozitivno število|pozitivna]] [[celo število|cela števila]]. Za [[število|števila]] <math>s \le 1</math> (ali bolje za realni del) je gornja [[vsota]] neskončna, tako da <math>\zeta(s)</math> za taka števila ni določena. Za vsako število ''s'' > 1 ima gornja vsota določeno končno vrednost. Pokazal je, da je za vsak tak ''s'' vrednost funkcije <math>\zeta(s)</math> enaka neskončnemu Eulerjevemu produktu:
: <math> \zeta(s) = {\prod_{\textstyle{ p=2 \atop p \in \mathbb{P}}}^{\infty}}
{ 1\over 1-{1\over p^{s}}} =
{ 1\over 1-{1\over 2^{s}}} \cdot
Vrstica 72:
kjer je <math>\gamma</math> ≈ 0,57721 56649 [[Euler-Mascheronijeva konstanta]]. Euler se je spraševal za ''praštevilsko harmonično vrsto'', ki jo dobimo če seštejemo obratne vrednosti vseh praštevil:
: <math> P(p) = \sum_{\textstyle{ p=1 \atop p \in \mathbb{P}}}^{\infty} {1\over p} =
{1\over 1} + {1\over 2} + {1\over 3} + {1\over 5} + {1\over 7} +
{1\over 11} + {1\over 13} + ... \!\, </math>
Vrstica 95:
naraščala preko vsake meje in pri ''s = 1'' bo praštevilska harmonična vrsta:
: <math> P(p) = \sum_{\textstyle{ p=1 \atop p \in \mathbb{P}}}^{\infty} {1\over p} =
{1\over 1} + {1\over 2} + {1\over 3} + {1\over 5} + {1\over 7} +
{1\over 11} + {1\over 13} + ... \!\, </math>
Vrstica 137:
kjer je <math>\chi(n)</math> posebna oblika funkcije, ki jo je Dirichlet imenoval »[[Dirichletov karakter|karakter]]«, in ta deli praštevila na zahtevan način. Posebej velja <math>\chi(mn) = \chi(m) \chi(n)</math> za vsak <math>m,n</math>. Druga pogoja sta še, da je <math>\chi(n)</math> odvisna le od ostanka pri deljenju ''n'' s ''k'' in <math>\chi(n)=0</math>, če imata ''n'' in ''k'' skupni faktor. Vsaka funkcija oblike <math>L(s,\chi)</math>, kjer je realno število ''s'' > 1 in <math>\chi</math> karakter, je znana kot [[Dirichletova vrsta|Dirichletova L-vrsta]]. Euler-Riemannova funkcija <math>\zeta</math> je poseben primer, ki nastane, če vzamemo <math>\chi(n)=1</math> za vse ''n''. Matematiki so posplošili spremenljivko ''s'' in števila <math>\chi(n)</math> v kompleksno področje in s posplošeno obliko dokazali veliko značilnosti praštevil in tako pokazali, da so L-vrste zelo močno orodje pri študiju praštevil. Ključni rezultat o L-funkcijah je ta, da jih lahko skupaj z <math>\zeta(s)</math> izrazimo kot neskončni produkt preko praštevil (Eulerjev produkt):
: <math> L(x,\chi) = {\prod_{\textstyle{ p=2 \atop p \in \mathbb{P}}}^{\infty}}
{ 1\over 1-{\chi(p)\over p^{s}} } =
{ 1\over 1-{\chi(2)\over 2^{s}} } \cdot
| |||