Wikipedija

Praštevilski izrek: Razlika med redakcijama

Pregledujte zgodovino interaktivno
← Starejše urejanjeNovejše urejanje →
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
VizualnoVikibesedilo
dp/-p::letnice/slog/+ktgr/+siz
dp+/slog
Vrstica 10:
== Vsebina izreka ==
 
π(''ξ'') je [[aritmetična funkcija]] [[število praštevil]], ki podaja število praštevil manjših ali enakih ''ξ'' za poljubno [[realno število]] ''ξ''. π(10) = 4, saj so štiri praštevila (2, 3, 5 in 7) manjša ali enaka 10. Praštevilski izrek pravi, da je [[limita]] ''kvocienta'' funkcij π(''ξ'') in ''ξ'' / ln ''ξ'' enaka 1, ko se ''ξ'' približuje [[neskončnost]]i:
 
: <math> \lim_{\xi\to +\infty}\frac{\pi(\xi)}{\xi/\ln\,\xi}=1 \!\, .</math>
 
Izrek sam ne pove nič o limiti ''razlik'' dveh funkcij, ko ''ξ'' narašča v neskončnost. Obnašanje te razlike je zapleteno in je povezano z [[Riemannova domneva|Riemannovo domnevo]]. Izrek izjavlja, da je ''ξ'' / ln ''ξ'' približno enako π(''ξ'') v smislu, da se [[relativna napaka]] tega približka približuje 0, ko ''ξ'' naraste prek vseh meja.
 
Praštevilski izrek je enakovreden izjavi, da je ''n''-to praštevilo ''p''<sub>''n''</sub> približno enako ''n'' ln ''n'', kjer se spet relativna napaka približuje 0, ko ''n'' narašča v neskončnost.
Vrstica 150:
 
== Pregled zgodnje zgodovine izreka ==
[[Slika:Primes - distribution - up to 19 primorial.png|231px|thumb|right|200px|Porazdelitev praštevil do [[primoriela|19#]] (96996909.699.690).]]
 
Praštevilski izrek govori o asimptotičnem obnašanju [[aritmetična funkcija|aritmetične funkcije]] <math>\pi(\xi)</math>, števila praštevil manjših ali enakih realnemu številu <math>\xi</math>. [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] je leta 1796 domneval in leta 1798 v knjigi ''Esai sur la Theorie des Nombres'' objavil ugotovitev za velike <math>\xi</math>:
Vrstica 202:
kjer je <math>\mu(m)</math> [[Möbiusova funkcija|Möbiusova multiplikativna aritmetična funkcija]].
 
[[Slika:PrimeNumberTheorem.png|thumb|right|300px200px|Graf, ki kaže primerjavo med π(''ξ''), ''ξ'' / ln ''ξ'' in Li(''ξ'') ]]
 
Funkcija Li<math>(\xi)</math> ima glavni člen <math>n/\ln \,n</math> in je boljši priblišek od njega samega. Tako Legendreova in Gaussova enačba nakazujeta podobno domnevno asimtotično enakost med π(''ξ'') in ''ξ'' / ln ''ξ''. Sicer se izkaže da je Gaussov približek precej boljši, če upoštevamo razlike namesto količnikov.
 
[[Pafnuti Lvovič Čebišov|Čebišov]] je v dveh člankih leta 1848 in 1850 poskušal dokazati porazdelitveni zakon za praštevila. Njegovo delo je pomembno zaradi uporabe funkcije zeta ζ(s), ki je naznanjalo [[Bernhard Riemann|Riemannov]] članek iz leta 1859. Čebišov je leta 1851 dokazal malo šibkejši rezultat, da če <math>\pi(\xi)/(\xi/\ln \xi)</math> res teži k limiti ko <math>\xi</math> pobegne v neskončnost, potem mora biti limita enaka 1. Ni pa mogel pokazati, da ta limita res obstaja. Čeprav Čebišov ni docela dokazal praštevilskega izreka, je z uporabo ocene za π(''ξ'') leta 1850 dokazal [[Bertrandova domneva|Bertrandovo domnevo]].
 
== Razpredelnica funkcij π(''ξ''), ''ξ'' / ln ''ξ'' in Li(''ξ'') ==
 
Naslednja razpredelnica kaže kako se obnašajo tri funkcije (π(''ξ''), ''ξ''/ln(''ξ'') in Li(''ξ'')). Zadnji stolpec, ''ξ''/ π(''ξ'') je povprečna [[praštevilska vrzel]] za praštevila, manjša od ''ξ'':
{| class="wikitable" style="text-align: right"
! ''ξ''
! π(''ξ'') <ref>{{Navedi splet
| url = http://www.research.att.com/projects/OEIS?Anum=A006880
| title = Število praštevil < 10^n (A006880)
| work = [[Spletna enciklopedija celoštevilskih zaporedij|OEIS]]
}}</ref>
! π(''ξ'') - ''ξ''/ln(''ξ'')<ref>{{Navedinavedi splet
| url = http://www.research.att.com/projects/OEIS?Anum=A057835
| title = Razlika med pi(10^n) in celim številom, najbližjim k 10^n / log(10^n) (A057835)
| work = OEIS
| work = [[Spletna enciklopedija celoštevilskih zaporedij|OEIS]]
}}</ref>
! π(''ξ'') / (''ξ''/ ln ''ξ'')
! Li(''ξ'') - π(''ξ'')<ref>{{Navedinavedi splet
| url = http://www.research.att.com/projects/OEIS?Anum=A057752
| title = Razlika med Li(10^n) inPi(10^n), kjer je Li(x) - integral log(x) in Pi(x) - število praštevil <= x (A057752)
| work = OEIS
| work = [[Spletna enciklopedija celoštevilskih zaporedij|OEIS]]
}}</ref>
! ''ξ''/π(''ξ'')
|-
|10<sup>1</sup> || 4 || -0,3 || 0,921 || 2,2 || 2,500
Vrstica 276:
|-
|10<sup>23</sup> || 1.925.320.391.606.818.006.727 || 37.083.513.766.592.669.113 || 1,020 || 7.236.148.412 || 51,939
|-
| [[Spletna enciklopedija celoštevilskih zaporedij|OEIS]] || {{OEIS2C|id=A006880}} || {{OEIS2C|id=A057835}} || &nbsp; || &nbsp; || {{OEIS2C|id=A057752}}
|}
Kot posledica praštevilskega izreka dobimo asimptotično oceno za n-to praštevilo ''p''(''n''):
Vrstica 284 ⟶ 286:
== Riemannova razširitev in dokaz ==
 
Leta 1896 sta neodvisno drug od drugega [[Charles de la Vallée Poussin|de la Vallée Poussin]] in [[Jacques Salomon Hadamard|Hadamard]] dokazala praštevilski izrek, trditev, ki je bila razvidna že iz dotedanjih izračunov. Dokazala sta, da se z »naraščajočim ''n'' vrednost izraza <math>n/\ln n</math> bolj in bolj približuje funkciji <math>\pi(\xi)</math>«. Pokazala sta da <math>\zeta(s)</math> nima nobenih ničel oblike <math>1 + it</math>, s tem, da za dokaz ni potrebno poznavanje drugih značilnosti <math>\zeta(s)</math>. Ta blesteči rezultat je enkrat za vselej in nedvoumno pokazal, da so praštevila razporejena po vzorcu, ki ga je možno opisati z matematičnimi sredstvi. Na njuno delo je močno vplival pomemben, čeprav komaj osem strani dolg [[Bernhard Riemann|Riemannov]] članek iz leta 1859 ''O številu praštevil, manjših od dane vrednosti'' (''Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse''). To edino Riemannovo delo iz [[teorije števil]] je izredno pomembno, saj je z izvirnimi postopki preučevanja naravnih števil odkril mnoge nove zakonitosti. Te metode uporabljajo še danes. Ključni prijem, ki ga je Riemann vpeljal pri preučevanju porazdelitve praštevil, je razširitev funkcije <math>\zeta(s)</math>. Euler je določil funkcijo le za realna števila, ki so večja od 1. Riemann pa je Eulerjevo določitev razširil na vsa kompleksna števila <math>s = a + bi</math> (z izjemo števila ''s'' = 1)<ref>{{navedi knjigo|last = Ingham|first =(1990), Astr.E.|title = The Distribution of Prime Numbers|publisher = Cambridge University Press|date = 1990|pages = 2-5.</ref>{{rp|isbn = 02-521-39789-85}}</ref>. Pri tem moramo uporabiti analitično nadaljevanje funkcije. Razširjena funkcija <math>\zeta(s)</math> je določena kot [[krivuljni integral]]:
 
: <math> \zeta(s) = {\Pi(-s)\over 2\pi i}\int_{C} {(-x)^{s}\over e^{x}-1} {dx\over x} \!\, , </math>
Vrstica 302 ⟶ 304:
: <math>\pi(\xi)={\rm Li} (\xi) + O \left(\xi \, \exp \left( -\frac{A(\ln \xi)^{3/5}}{(\ln \ln \xi)^{1/5}} \right) \right) \!\, . </math>
 
Izreka Hadamarda in de la Vallée-Poussin je kasneje v 20. stoletju postal znan kot praštevilski izrek. Zaradi povezave med Riemannovo funkcijo ζ(''s'') in π(''ξ'') ima RIemannova domneva pomembno vlogo v teoriji števil. Če bo rešena, bo moč najti mnogo točnejšo napako v praštevilskem izreku kot je na voljo sedaj. [[Helge von Koch|Von Koch]] je leta 1901<ref>{{navediVon revijo|title=Sur la distribution des nombres premiers|journal=Acta Mathematica|volume=24|issue=1|year=DecKoch (1901|pages=159-182|author=Helge von Koch}}).</ref> dokazal, da je Riemannova domneva enakovredna naslednji '''močnejši obliki praštevilskega izreka''', ko <math>\xi\to\infty</math> :
 
: <math> \pi(\xi) = {\rm Li} (\xi) + O \left(\sqrt\xi \ln\xi\right) \!\, , </math>
 
Če velja Riemannova domneva, je tukaj ocena napake še boljša kot zgoraj, kakšna pa je konstanta v <math>O</math> zapisu, pa ne vemo. Ta povezava med številom praštevil in med ničlami kompleksne analitične funkcije je nabila ozračje matematike na začetku [[20. stoletje|20. stoletja]]. Kot je leta 1932 zapisal Ingham:
::: Rešitev [zgornje enačbe] ... bo verjetno neuspešna, ker prinaša zamisli, ki so zelo drugačne od izvirnega problema. Naravno se je vprašati po dokazu praštevilskega izreka, ki ni odvisen od funkcij kompleksne spremenljivke ... Kakor zgleda bo nemogoče najti pristen dokaz z 'realnimi spremenljivkami'.
 
Ingham je menil, da mora vsak dokaz vsebovati [[kompleksna analiza|kompleksno analizo]]. Kako se je motil (kot tudi [[Godfrey Harold Hardy|Hardy]], Bohr in mnogi drugi). Leta 1949 sta [[Atle Selberg|Selberg]] in [[Paul Erdős|Erdős]] delno neodvisno pokazala elementarni dokaz praštevilskega izreka.
 
Konstanto v von Kochovi obliki je leta 1976 določil [[Lowell Schoenfeld|Schoenfeld]]<ref>{{Navedi revijo|author=Lowell Schoenfeld|title=Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ(''x''1976) and ψ(''x''), II|journal=Mathematics of Computation|volume=30|issue=134|pages=337–360|year=april 1976}}.</ref> in upošteval Riemannovo domnevo:
 
: <math>|\pi(\xi)-{\rm li}(\xi)|<\frac{\sqrt \xi\,\ln \xi}{8\pi}</math>
 
za vse ''ξ'' ≥ 2657. Izpeljal je tudi sorodno mejo za [[funkcija Čebišova|število praštevil Čebišova]] ψ:
 
: <math>|\psi(\xi)-\xi|<\frac{\sqrt \xi\,\ln^2 \xi}{8\pi}</math>
 
za vse ''ξ'' ≥ 73,2.
 
Logaritemski integral Li(''ξ'') je večji od π(''ξ'') za »majhne« vrednosti ''ξ''. Vendar je [[John Edensor Littlewood|Littlewood]] leta 1914 dokazal da temu ni vedno tako. Prva vrednost ''ξ'' za katero je π(''ξ'') večja od Li(''ξ'') je približno pri ''ξ'' = 1,397162914 · 10<sup>316</sup> ([[Patrick Demichel|Demichel]] 2005). Takšna števila so znana kot [[Skewesovo število|Skewesova števila]].
 
== Groba skicaMetodologija dokaza ==
 
V predavanju o praštevilih za širšo javnost je [[TerryTerence Tao|Tao]], prejemnik [[Fieldsova medalja|Fieldsove medalje]] leta [[2006]], opisal pesniški pristop dokaza praštevilskega izreka s poslušanjem praštevilske »glasbe«. Začnemo z »zvočnim valovanjem«, ki je »glasno« pri praštevilih in tiho pri sestavljenih številih - to je [[von Mangoldtova funkcija|von Mangoldtova]] aritmetična funkcija Λ(''n''), ki ni ne [[multiplikativna funkcija|multiplikativna]] in ne [[aditivna funkcija|aditivna]]. Potem analiziramo njegove [[nota|note]], oziroma [[frekvenca|frekvence]], s procesom, sorodnim [[Fourierjeva transformacija|Fourierjevi transformaciji]] - to je [[Mellinova transformacija]]. Potem dokažemo, kar je težek del, da se določene »note« v tej glasbi ne morejo pojaviti. Ta izključitev določenih not vodi do praštevilskega izreka. Po Tau ta dokaz vodi do bolj globljega vpogleda v porazdelitev praštevil kot elementarni dokazi, opisani zgorajspodaj <ref>[http://164.67.141.39:8080/ramgen/specialevents/math/tao/tao-20070117.smil Video] in [http://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/Slides/primes.pdf prosojnice] Taojevega predavanja o praštevilih, UCLA, januar 2007.</ref>.
 
== Teorija Dirichletovih vrst ==
Vrstica 333 ⟶ 335:
: <math> \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} f(n) {1\over n^{s}} \!\, . </math>
 
[[kvadrat (algebra)|Kvadrat]] Euler-Riemannove funkcije <math>\zeta(s)</math> generira funkcijo [[število deliteljev]] <math>\tau(n)</math>:
 
: <math> \zeta(s)^{2} = \sum_{n=1}^{\infty} {\tau(n)\over n^{s}} \!\, . </math>
Vrstica 428 ⟶ 430:
Formulacijo tega prepričanja je deloma omajal dokaz praštevilskega izreka, ki je temeljil na [[Wienrov tauberski izrek|Wienrovem tauberskem izreku]] iz teorije [[divergentna vrsta|divergentnih vrst]] iz leta 1932, čeprav bi bilo moč označiti »globino« Wienrovega izreka kot enako metodam kompleksne analize. Predstava »elementarnega dokaza« v teoriji števil ni točno določena, vendar se zdi da po navadi v grobem ustreza dokazom, ki jih je moč izvesti v [[Peanovi aksiomi|Peanovi aritmetiki]], in ne v močnejših teorijah kot je na primer aritmetika drugega reda. Obstajajo izjave Peanove aritmetike, ki jih je moč dokazati v [[aritmetika drugega reda|aritmetiki drugega reda]], ne pa v [[aritmetika prvega reda|aritmetiki prvega reda]]. Takšen zgled je na primer [[Paris-Harringtonov izrek]]. Drugače pa so v praksi takšni izreki redki.
 
Selberg je našel [[elementarni dokaz]] praštevilskega izreka leta 1949, ki je uporabljal le prijeme iz teorije števil. Erdős je skoraj istočasno uporabil njegove zamisli in razdelal malo drugačen elementarni dokaz. Selbergovo delo je umirilo pojem »globine« za praštevilski izrek, in je pokazalo da so tehnično »elementarne« metode (oziroma Peanova aritmetika) močnejše kot so sprva pričakovali. Leta 1956 [[Basil Gordon|Gordon]] dokazal praštevilski izrek s pomočjo [[Stirlingova aproksimacija|Stirlingove aproksimacije]] za velike <math>n!</math>. Leta [[2001]] je Sudac pokazal, da je moč praštevilski izrek dokazati v [[primitivno rekurzivna aritmetika|primitivno rekurzivni aritmetiki]]<ref>{{Navedi revijo|author=Olivier Sudac|title=The prime number theorem is PRA-provable|year=april (2001|journal=Theoretical Computer Science|volume=257|issue=1–2|pages=185-239}}).</ref>, veliko šibkejši teoriji kot je Peanova aritmetika.
 
Avigad in sodelavci so leta [[2005]] napisali računalniško različico tega elementarnega dokaza v interaktivnem sestavu [[avtomatično dokazovanje izrekov|dokazovanja izrekov]] Isabelle <ref>{{Navedi revijo|author=Jeremy Avigad, Kevin Donnelly, David Gray, Paul Raff|url=http://arxiv''idr.org/abs/cs.AI/0509025|title=A'' formally verified proof of the prime number theorem|journal=e-print cs(2005). AI/0509025 v [[ArXiv]]|year=2005}}</ref>.
 
== Praštevilski izrek za aritmetična zaporedja ==
 
Naj <math>\pi_{kd,a}(\xi)</math> označuje število praštevil v [[aritmetično zaporedje|aritmetičnem zaporedju]] ''a'', ''a'' + ''kd'', ''a'' + 2''kd'', ''a'' + 3''kd'', … manjše od ''ξ''. Dirichlet in Legendre sta domnevala in de la Vallée Poussin dokazal, da če sta ''a'' in ''kd'' [[tuje število|tuji]], potem velja:
 
: <math> \pi_{kd,a}(\xi) \sim \frac{1}{\phi(kd)}\mathrm{Li}(\xi) \!\, , </math>▼
 
kjer je φ(·) [[Eulerjeva funkcija fi|Eulerjeva funkcija φ]]. Praštevila so porazdeljena enakomerno med razredi ostankov [''a''] [[modularna aritmetika|modulo]] ''kd'' z gcdD(''a'', ''kd'') = 1. To je moč dokazati s podobno metodo, ki jo je uporabil Newman za svoj dokaz praštevilskega izreka<ref>{{Navedinavedi revijosplet|authorlast=Ivan SoprounovSoprunov|urlfirst=http://www.math.umass.edu/~isoprou/pdf/primes.pdfIvan|title=A short proof of the Prime Number Theorem for arithmetic progressions|url=http://www.math.umass.edu/~isoprou/pdf/primes.pdf|year=1998|accessdate=20120-07-13|language=v angleščini}}</ref>.▼
 
Čeprav imamo posebej:
▲: <math> \pi_{k,a}(\xi) \sim \frac{1}{\phi(k)}\mathrm{Li}(\xi) \!\, , </math>
 
: <math> \pi_{4,1}(\xi) \sim \pi_{4,3}(\xi) \sim \frac{1}{2}\frac{\xi}{\log \xi} \!\, , </math>
▲kjer je φ(·) [[Eulerjeva funkcija fi|Eulerjeva funkcija φ]]. Praštevila so porazdeljena enakomerno med razredi ostankov [''a''] [[modularna aritmetika|modulo]] ''k'' z gcd(''a'', ''k'') = 1. To je moč dokazati s podobno metodo, ki jo je uporabil Newman za svoj dokaz praštevilskega izreka<ref>{{Navedi revijo|author=Ivan Soprounov|url=http://www.math.umass.edu/~isoprou/pdf/primes.pdf|title=A short proof of the Prime Number Theorem for arithmetic progressions|year=1998}}</ref>.
 
so empirično praštevila kongruentna 3 pogostejša in v tej »praštevilski tekmi« skoraj vedno vodijo; prvi obrat nastopi sicer pri ''ξ'' = 3, nato pa šele pri ''ξ'' = 26.861.<ref name="Granville Martin MAA">Granville; Martin (2006), str. 1-2.</ref>{{rp|1–2}} {{OEIS|id=A007350}} Vendar je Littlewood leta 1914 pokazal, da se predznak za funkcijo:
Littlewood je leta 1914 pokazal da se predznak za funkcijo:
 
: <math> \pi_{1,4,1}(\xi) - \pi_{3,4,3}(\xi) \!\, </math>
 
neskončnokrat spremeni.<ref name="Granville Martin MAA" />{{rp|2}} Tako se vodstvo v tekmi izmenjuje nazaj in naprej neskončno mnogokrat. Pojav, da π<sub>4,3</sub>(''ξ'') večino časa vodi, je odkril Čebišov leta 1853, in se imenuje [[pristranost Čebišova]] ali včasih praštevilska tekma. Izraz ''praštevilska tekma'' je skoval [[Pál Turán|Turán]]. Praštevilska tekma se posploši za druge module in jo veliko raziskujejo. [[Andrew Granville|Granville]] in Martin sta podala temeljito razlago in pregled.<ref name="Granville Martin MAA" />
neskončnokrat spremeni.
 
== Domene funkcije števila praštevil ==
 
Praštevilski izrek je ''asimptotičen'' rezultat. Zaradi tega ga ne moremo uporabiti za določitev domene π(''ξ'').
 
Znane pa so nekatere meje definicijskega območja za π(''ξ''), kot je na primer [[Pierre Dusart|Dusartova]]:
 
: <math> \frac{\xi}{\ln \xi}\left(1+\frac{1}{\ln \xi}\right) < \pi(\xi) < \frac{\xi}{\ln \xi}\left(1+\frac{1}{\ln \xi}+\frac{2,51}{(\ln \xi)^2}\right) \!\, . </math>
 
Prva neenakost velja za vse ''ξ'' ≥ 599, druga pa za vse ''ξ'' ≥ 355991<ref>Pierre Dusart, ''[http://www.unilim.fr/laco/theses/1998/T1998_01.html Autour de la fonction qui compte le nombre de nombres premiers]'', doktorska teza za l'Université de Limoges (1998).</ref>.
 
Šibkejša, vendar včasih uporabna meja je:
Vrstica 460 ⟶ 466:
: <math> \frac {\xi}{\ln \xi + 2} < \pi(\xi) < \frac {\xi}{\ln \xi - 4} \!\, </math>
 
za ''ξ'' ≥ 55<ref>{{Navedi revijo|title=Explicit Bounds for Some Functions of Prime Numbers|author=Barkley Rosser|journal=American Journal of Mathematics|volume=63|issue=1|year=januar 1941|pages=211-232}}</ref>.
 
V DusaroviDusartovi disertaciji je moč najti malce močnejšo različico takšne neenakosti, ki velja za velike ''ξ''.
 
== Približki za ''n''-to praštevilo ==
Vrstica 489 ⟶ 495:
: <math>N_n \sim \frac{q^n}{n} \!\, . </math>
 
Če pišemo ''ξ'' = ''q''<sup>''n''</sup>, potem je desna stran enaka:
 
: <math>\frac{\xi}{\log_q \xi} \!\, , </math>
Vrstica 519 ⟶ 525:
== Viri ==
 
* {{navedi revijo|last=Avigad|first=Jeremy|coauthors=Donnelly, Kevin; Gray, David; Raff, Paul|title=A formally verified proof of the prime number theorem|journal=e-print {{arxiv|id=cs.AI/0509025}}|year=2005}}
* {{navedi revijo|last=Drnovšek|first=Roman|authorlink=Roman Drnovšek|title=Praštevilski dvojčki in procesor Pentium|journal=[[Presek (revija)|Presek]]|year=1997|volume=25|issue=3|pages=162-166|url=http://www.dlib.si/?URN=URN:NBN:SI:DOC-3TPWNTWN|accessdate=2012-07-12}}{{cobiss|id=7866457}}
* Granville, Andrew, ''Harald Cramér and the distribution of prime numbers'', Scandinavian Actuarial Journal, vol. 1, str. 12–28, 1995. ([http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/granville-cramer.ps postscript]).
* {{navedi revijo|last=Dusart|first=Pierre|authorlink=Pierre Dusart|title=Autour de la fonction qui compte le nombre de nombres premiers|url=http://www.unilim.fr/laco/theses/1998/T1998_01.html|work=Doktorska teza na [[Univerza v Limogesu|Univerzi v Limogesu]] (l'Université de Limoges)|year=1998}}
* Vardi, Ilan, ''[http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/vardi.html An introduction to Analytic Number Theory]'', 1998.
* {{navedi revijo|last=Granville|first=Andrew|authorlink=Andrew Granville|title=Harald Cramér and the distribution of prime numbers|journal=Scandinavian Actuarial Journal|year=1995|volume=1|issue= |pages=12–28|url=http://www.dartmouth.edu/~chance/chance_news/for_chance_news/Riemann/cramer.pdf|format=PDF|accessdate=2012-07-12}}
* {{navedi revijo| doi = 10.2307/27641834
| last1 = Granville | first1 = Andrew
| last2 = Martin | first2 = Greg
| authorlink1 =
| year = 2006 | month = januar
| title = Prime Number Races
| journal = [[American Mathematical Monthly]]
| volume = 113 | issue = 1 | pages = 1–33
| url = http://www.dms.umontreal.ca/%7Eandrew/PDF/PrimeRace.pdf
| jstor = 27641834
| accessdate = 2012-07-13
}}
* {{navedi knjigo|last=Ingham|first=A. E.|title=The Distribution of Prime Numbers|publisher=Cambridge University Press|date=1990|isbn=0-521-39789-8}}
* {{navedi revijo|last=Schoenfeld|first=Lowell|authorlink=Lowell Schoenfeld|title=Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ(''x'') and ψ(''x''), II|journal=[[Mathematics of Computation]]|date=april 1976|volume=30|issue=134|pages=337–360}}
* {{navedi revijo|last=Sudac|first=Olivier|title=The prime number theorem is PRA-provable|year=april 2001|journal=Theoretical Computer Science|volume=257|issue=1–2|pages=185-239}}
* {{navedi knjigo|last=Vardi|first=Ilan|title=An introduction to Analytic Number Theory|year=1998|publisher= |location= |url=http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/vardi.html}}
* {{navedi revijo||last=Von Koch|first=Helge|authorlink=Helge von Kochtitle=Sur la distribution des nombres premiers|journal=[[Acta Mathematica]]|volume=24|issue=1|year=december 1901|pages=159-182}}
 
== Zunanje povezave ==
Pridobljeno iz »https://sl.wikipedia.org/wiki/Praštevilski_izrek«