Diferencialna topologija: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
+ |
|||
Vrstica 1:
'''Diferenciálna topologíja''' je [[matematika|matematična]] [[matematična disciplina|disciplina]], ki obravnava [[diferenciabilna funkcija|diferenciabilne funkcije]] ([[diferenciabilna preslikava|preslikave]]) in [[diferenciabilna mnogoterost|diferenciabilne mnogoterosti]]. Je tesno povezana s sorodnim področjem, [[diferencialna geometrija|diferencialno geometrijo]], skupaj pa predstavljata geometrijsko teorijo diferenciabilnih mnogoterosti. Diferencialna topologija raziskuje (globalne) geometrijske [[invarianta|invariante]] brez [[metrika|metričnih]] ali [[simplektična mnogoterost|simplektičnih]] form. [[Mnogoterost]] je [[topološki prostor]], ki krajevno izgleda kot [[razsežnost|''n''-razsežni]] [[kartezični prostor]] <math>\R^{n} \, </math>. Sestavljen je iz kosov <math>\R^{n} \, </math>, zlepljenih med seboj s [[homeomorfizem|homeomorfizmi]]. Če so ti homeomorfizmi diferenciabilni, dobimo diferenciabilno mnogoterost.<ref name="hirsch_1997">Hirsch (1997).</ref>
== Opis in pregled ==
Vrstica 20:
Diferencialna topologija, rečeno zgoščeno, raziskuje strukture na mnogoterostih, ki v nekem smislu nimajo zanimive krajevne strukture. Diferencialna geometrija pa raziskuje strukture na mnogoterostih, ki imajo zanimivo (ali včasih celo infinitezimalno) strukturo.
Bolj matematično gledano je problem konstruiranja difeomorfizma med dvema mnogoterostima enakih razsežnosti je inherentno globalen, ker sta ''krajevno'' dve takšni mnogoterosti vedno difeomorfni. Enako je problem računanja količine na mnogoterosti, ki je invarianta pod diferenciabilno preslikavo, inherentno globalen, ker bo vsaka krajevna invarianta trivialna v smislu, da je že izkazana v topologiji </math>\R^{n} \,</math>. Še več, diferencialna topologija se ne omejuje nujno na raziskovanje difeomorfizma. [[Simplektična topologija]], poddisciplina diferencialne topologije, raziskuje globalne značilnosti simplektičnih mnogoterosti. Diferencialna geometrija raziskuje probleme, ki so lahko krajevni ali globalni, in imajo vedno kakšne netrivialne krajevne značilnosti Zaradi tega lahko diferencialna geometrija raziskuje diferenciabilne mnogoterosti, opremljenimi s ''[[povezanost (matematika)|povezanostjo]]'', ''metriko'', (ki je lahko [[riemannovska mnogoterost|riemannovska]], [[psevdoriemannovska mnogoterost|psevdoriemannovska]] ali [[Finslerjeva mnogoterost|Finslerjeva]]), posebno vrsto ''[[Frobeniusov izrek (diferencialna topologija)|porazdelitve]]'' (kot je npr. [[mnogoterost CR|struktura CR]]) in podobno.
To razlikovanje med diferencialno geometrijo in diferencialno topologijo je vseeno zamegljeno pri vprašanjih , ki se posebej nanašajo na invariante krajevnega difeomorfizma, ko je npr. [[tangentni prostor]] v [[točka|točki]]. Diferencialna topologija se ukvarja tudi s takšnimi vprašanji, ki se posebej nanašajo na značilnosti diferenciabilnih preslikav na </math>\R^{n} \,</math>, na primer [[tangentni sveženj]], [[tok (matematika)|tokovni svežnji]], [[Whitneyjev izrek o razširitvi]] itd.
Kljub temu pa razlikovanje postane jasnejše v abstraktnem okolju. Diferencialna topologija je raziskovanje (infinitezimalnih, krajevnih in globalnih) značilnosti struktur na mnogoterostih, ki so brez netrivialnih krajevnih modulov, diferencialna geometrija pa je raziskovanje (infinitezimalnih, krajevnih in globalnih) značilnosti struktur na mnogoterostih, ki imajo netrivialne krajevne module.
== Opombe in sklici ==
| |||