Telegrafski enačbi: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m popravek |
m slog |
||
Vrstica 1:
'''Telegráfski enáčbi''' sta linearni hiperbolični [[parcialna diferencialna enačba|parcialni]] [[diferencialna enačba|diferencialni enačbi]], ki opisujeta [[elektrika|električno]] [[napetost]] in [[električni tok|tok]] na homogeni prenosni [[linija|liniji]] v odvisnosti od (
== Modelno vezje odseka linije ==
[[
Elemente '''R''', '''L''', '''G''' in '''C''' v shemi jemljemo kot vrednosti ''na enoto dolžine'' linije ([[ohm|Ω]]/[[meter|m]], [[henry (enota)|H]]/m, [[siemens|S]]/m, [[farad|F]]/m). [[Induktivnost]] '''L''' vključimo zaradi [[magnetno polje|magnetnega polja]], ki ga povzroča tok skozi vodnik ter posledične medsebojne induktivnosti, lastne induktivnosti in podobno. [[Prevodnost]] '''G''' predstavlja izgube zaradi slabe [[izolacija|izolacije]] vmesnega [[dielektrik]]a.
Vrstica 10:
Zapišimo zančno napetostno enačbo vezja, pri tem pa množimo vrednosti elementov z infinitezimalno dolžino odseka linije in jih s tem konkretizirajmo:
: <math>u (x, t) = i(x, t) R \Delta x + L \frac{\partial i(x,t)}{\partial t} \Delta x + u(x + \Delta x, t) \!\, . </math>
Podobno dobimo še tokovno enačbo edinega vozlišča modelnega vezja:
: <math> i(x, t) = u(x + \Delta x, t) G \Delta x + C \frac{\partial u(x + \Delta x,t)}{\partial t} \Delta x + i(x + \Delta x, t) \!\, . </math>
== Izpeljava ==▼
▲==Izpeljava==
Prenesemo zadnja člena na desno stran enačb in ju delimo z <math>\Delta x</math>. Desni strani nam v [[limita funkcije|limiti]] <math>\Delta x \rightarrow 0</math> predstavljata [[odvod]] napetosti (toka) po položaju in po preureditvi dobimo parcialni diferencialni enačbi prvega reda:
: <math>\frac{\partial u}{\partial x} + R i + L \frac{\partial i}{\partial t} = 0 \!\, , </math>▼
▲<math>\frac{\partial u}{\partial x} + R i + L \frac{\partial i}{\partial t} = 0</math>
: <math>\frac{\partial i}{\partial x} + G u + C \frac{\partial u}{\partial t} = 0 \!\, . </math>
Zgornji enačbi lahko združimo in dobimo eno samo enačbo. V ta namen eno od zgornjih enačb odvajamo po spremenljivki <math>x</math>, drugo pa po <math>t</math>, nato ustrezno enačbo pomnožimo z <math>L</math> ali <math>C</math>, da lahko, ko enačbi seštejemo, odstranimo člen z dvojnim mešanim parcialnim odvodom. Glede na vrstni red prvega odvajanja lahko končno dobimo parcialno diferencialno enačbo drugega reda za napetost ali za tok:
: <math> \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - LC \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - (LG + RC) \frac{\partial u}{\partial t} - RG u = 0 \!\, , </math>▼
▲<math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - LC \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - (LG + RC) \frac{\partial u}{\partial t} - RG u = 0 </math>
oziroma:▼
: <math> \frac{\partial^2 i}{\partial x^2} - LC \frac{\partial^2 i}{\partial t^2} - (LG + RC) \frac{\partial i}{\partial t} - RG i = 0 \!\, . </math>▼
▲oziroma
== Viri ==▼
▲<math>\frac{\partial^2 i}{\partial x^2} - LC \frac{\partial^2 i}{\partial t^2} - (LG + RC) \frac{\partial i}{\partial t} - RG i = 0 </math>
* {{navedi knjigo|last=Slivnik|first=Tomaž|authorlink=Tomaž Slivnik|coauthors=[[Gabrijel Tomšič|Tomšič, Gabrijel]]|title=Matematika IV|publisher=[[Fakulteta za elektrotehniko v Ljubljani|Fakulteta za elektrotehniko]]|location=Ljubljana|year=2004}}
▲==Viri==
* [[:en:Telegrapher's equations]] ([http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Telegrapher%27s_equations&oldid=310179759 Različica članka na angleški Wikipediji])
| |||