Seznam integralov eksponentnih funkcij: Razlika med redakcijama

m
popravek
(Nov prispevek)
m (popravek)
'''Seznam integralov Gaussoviheksponentnih funkcij''' vsebuje [[integral|integrale]]e [[Gaussovaeksponentna funkcija|Gaussoviheksponentnih funkcij]].
 
V pregledu pomeni <math style="vertical-align:-.9em">\phi(x) = \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}</math> [[funkcija gostote verjetnosti|funkcijo gostote verjetnosti]] za [[normalna porazdelitev|normalno porazdelitev]] in <math style="vertical-align:-.9em">\textstyle \Phi(x) = \int_{-\infty}^x \phi(t)dt = \frac12\big(1 + \operatorname{erf}\big(\frac{x}{\sqrt{2}}\big)\big)</math> je pripadajoča [[zbirna funkcija verjetnosti]] (kjer je '''erf''' [[funkcija napake]]).
 
== Nedoločeni integrali ==
: <math> \int \phi(x) \, dx = \Phi(x) + C </math>
: <math> \int x \phi(x) \, dx = -\phi(x) + C </math>
: <math> \int x^2 \phi(x) \, dx = \Phi(x) - x\phi(x) + C</math>
: <math> \int x^{2k+1} \phi(x) \, dx = -\phi(x) \sum_{j=0}^k \frac{(2k)!!}{(2j)!!}x^{2j} + C </math>
 
Nedoločeni integrali so [[primitivna funkcija|primitivne funkcije]]. [[aditivna konstanta|Aditivno konstanto]] lahko dodamo na desni strani vsakega izmed obrazcev, tukaj so te konstante izpuščene zaradi enostavnosti.
: <math> \int x^{2k+2} \phi(x) \, dx = -\phi(x)\sum_{j=0}^k\frac{(2k+1)!!}{(2j+1)!!}x^{2j+1} + (2k+1)!!\,\Phi(x) + C</math>
::: (v teh integralih je ''n''!! [[fakulteta (funkcija)|dvojna fakulteta]]: za parne vrednosti ''n'' je to zmnožek vseh parnih števil od 2 do ''n'', za neparne ''n'' je to zmnožek vseh neparnih števil od 1 do ''n'', dodatno še velja 1=0!! = (−1)!! = 1).
 
: <math> \int \phi(x)e^2 \, dx = \tfrac{1x}{2\sqrt;\mathrm{\pi}d}x = \Phi(e^{x\sqrt{2}) + C </math>
 
: <math>\int e^{cx}\;\mathrm{d}x = \frac{1}{c} e^{cx}</math>
: <math> \int \phi(x)\phi(a + bx) \, dx = \tfrac{1}{t}\phi(a/t)\Phi(tx + ab/t) + C, \quad t = \sqrt{1+b^2} </math> : <math> \int x\phi(a+bx) \, dx = -\tfrac{1}{b^2}\phi(a+bx) - \tfrac{a}{b^2}\Phi(a+bx) + C </math>
: <math> \int x^2\phi(a+bx) \, dx = \tfrac{a^2+1}{b^3}\Phi(a+bx) + \frac{a-bx}{b^3}\phi(a+bx) + C </math>
: <math> \int \phi(a+bx)^n \, dx = \frac{(2\pi)^{-(n-1)/2}}{b\sqrt{n}} \Phi\big(\sqrt{n}(a+bx)\big) + C </math>
: <math> \int \Phi(a+bx) \, dx = \tfrac{1}{b}(a+bx)\Phi(a+bx) + \tfrac{1}{b}\phi(a+bx) + C </math>
: <math> \int x\Phi(a+bx) \, dx = \tfrac{1}{2b^2}\big((b^2x^2 - a^2 - 1)\Phi(a+bx) + (bx-a)\phi(a+bx)\big) + C </math>
: <math> \int x^2\Phi(a+bx) \, dx = \tfrac{1}{3b^3}\big((b^3x^3 + a^3 + 3a)\Phi(a+bx) + (b^2x^2-abx+a^2+2)\phi(a+bx)\big) + C </math>
: <math> \int x^n \Phi(x) \, dx = \tfrac{1}{n+1}\Big( (x^{n+1}-nx^{n-1})\Phi(x) + x^n\phi(x) + n(n-1)\int x^{n-2}\Phi(x)\,dx \Big) + C </math>
: <math> \int x\phi(x)\Phi(a+bx) \, dx = \tfrac{b}{t}\phi(a/t)\Phi(xt + ab/t) - \phi(x)\Phi(a+bx) + C, \quad t = \sqrt{1+b^2} </math>
: <math> \int \Phi(x)^2 \, dx = x \Phi(x)^2 + 2\Phi(x)\phi(x) - \tfrac{1}{\sqrt{\pi}}\Phi(x\sqrt{2}) + C </math>
: <math> \int e^{cx}\phi(bx)^n \, dx = \frac{1}{b\sqrt{n(2\pi)^{n-1}}}e^{c^2/(2nb^2)}\Phi(bx\sqrt{n} - \tfrac{c}{b\sqrt{n}}) + C, \quad b\ne0, n>0 </math>
 
: <math>\int a^{cx}\;\mathrm{d}x = \frac{1}{c\cdot \ln a} a^{cx}</math> za <math>a > 0,\ a \ne 1</math>
== Določeni integrali ==
 
: <math>\int xe^{cx}\; \mathrm{d}x = \frac{e^{cx}}{c^2}(cx-1)</math>
: <math>\begin{align}
 
& \int_{-\infty}^\infty x^2\phi(x)^n \, \, dx = \Big(n^{3/2}(2\pi)^{(n-1)/2}\Big)^{-1} \\
: <math>\int x^2 e^{cx}\;\mathrm{d}x = e^{cx}\left(\frac{x^2}{c}-\frac{2x}{c^2}+\frac{2}{c^3}\right)</math>
& \int_{-\infty}^0 \phi(ax)\Phi(bx)dx = (2\pi a)^{-1}\arctan(a/b) \\
 
& \int_0^{\infty} \phi(ax)\Phi(bx) \, dx = (2\pi a)^{-1}\big(\tfrac{\pi}{2} - \arctan(b/a)\big) \\
&: <math>\int_0int x^n e^{cx}\infty; x\phi(mathrm{d}x)\Phi(bx) \, dx = \frac{1}{2c} x^n e^{cx} - \sqrtfrac{2n}{c}\piint x^{n-1} e^{cx} \bigg(mathrm{d}x 1= +\left( \frac{b\partial}{\sqrt{1+b^2}partial c} \biggright)^n \\frac{e^{cx}}{c} </math>
 
& \int_0^\infty x^2\phi(x)\Phi(bx) \, dx = \frac14 + \frac{1}{2\pi}\bigg( \frac{b}{1+b^2} + \arctan b \bigg) \\
&: <math>\int x \phi(x)frac{e^2\Phi({cx}}{x) }\,; dx\mathrm{d}x = \fracln|x| +\sum_{n=1}{4^\piinfty\sqrtfrac{3(cx)^n}} \{n\cdot n!}</math>
 
& \int_0^\infty \Phi(bx)^2 \phi(x) \, dx = (2\pi)^{-1}\big( \arctan b + \arctan \sqrt{1+2b^2} \big) \\
: <math>\int\frac{e^{cx}}{x^n}\; \mathrm{d}x = \frac{1}{n-1}\left(-\frac{e^{cx}}{x^{n-1}}+c\int\frac{e^{cx} }{x^{n-1}}\,\mathrm{d}x\right) \qquad\mbox{(za }n\neq 1\mbox{)}</math>
& \int_{-\infty}^\infty \Phi(bx)^2 \phi(x) \, dx = \pi^{-1}\arctan \sqrt{1+2b^2} \\
 
& \int_{-\infty}^\infty x\phi(x)\Phi(bx) \, dx = \int_{-\infty}^\infty x\phi(x)\Phi(bx)^2 \, dx = \frac{b}{\sqrt{2\pi(1+b^2)}} \\
: <math>\int e^{cx}\ln x\; \mathrm{d}x = \frac{1}{c}e^{cx}\ln|x|-\operatorname{Ei}\,(cx)</math>
& \int_{-\infty}^\infty \Phi(a+bx)\phi(x) \, dx = \Phi\big(a/\sqrt{1+b^2}\big) \\
 
& \int_{-\infty}^\infty x\Phi(a+bx)\phi(x) \, dx = (b/t)\phi(a/t), \quad t = \sqrt{1+b^2} \\
: <math>\int e^{cx}\sin bx\; \mathrm{d}x = \frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\sin bx - b\cos bx)</math>
& \int_0^\infty x\Phi(a+bx)\phi(x) \, dx = (b/t)\phi(a/t)\Phi(-ab/t) + (2\pi)^{-1/2}\Phi(a), \quad t = \sqrt{1+b^2} \\
 
& \int_{-\infty}^\infty \ln(x^2) \tfrac{1}{\sigma}\phi\big(\tfrac{x}{\sigma}\big) \, dx = \ln(\sigma^2) - \gamma - \ln 2 \approx \ln(\sigma^2) - 1.27036
: <math>\int e^{cx}\cos bx\; \mathrm{d}x = \frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\cos bx + b\sin bx)</math>
\end{align}</math>
 
: <math>\int e^{cx}\sin^n x\; \mathrm{d}x = \frac{e^{cx}\sin^{n-1} x}{c^2+n^2}(c\sin x-n\cos x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\sin^{n-2} x\;\mathrm{d}x</math>
 
: <math>\int e^{cx}\cos^n x\; \mathrm{d}x = \frac{e^{cx}\cos^{n-1} x}{c^2+n^2}(c\cos x+n\sin x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\cos^{n-2} x\;\mathrm{d}x</math>
 
:<math>\int x e^{c x^2 }\; \mathrm{d}x= \frac{1}{2c} \; e^{c x^2}</math>
 
:<math>\int e^{-c x^2 }\; \mathrm{d}x= \sqrt{\frac{\pi}{4c}} \operatorname{erf}(\sqrt{c} x)</math> (<math>\operatorname{erf}</math> je [[funkcija napake]])
 
:<math>\int xe^{-c x^2 }\; \mathrm{d}x=-\frac{1}{2c}e^{-cx^2} </math>
 
:<math>\int {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 / 2\sigma^2}}\; \mathrm{d}x= -\frac{1}{2} \left(\operatorname{erf}\,\frac{-x+\mu}{\sigma \sqrt{2}}\right)</math>
 
:<math>\int e^{x^2}\,\mathrm{d}x = e^{x^2}\left( \sum_{j=0}^{n-1}c_{2j}\,\frac{1}{x^{2j+1}} \right )+(2n-1)c_{2n-2} \int \frac{e^{x^2}}{x^{2n}}\;\mathrm{d}x \quad \mbox{velja za } n > 0, </math>
::where <math> c_{2j}=\frac{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2j-1)}{2^{j+1}}=\frac{(2j)\,!}{j!\, 2^{2j+1}} \ . </math>
 
:<math> {\int \underbrace{x^{x^{\cdot^{\cdot^{x}}}}}_m \,dx= \sum_{n=0}^m\frac{(-1)^n(n+1)^{n-1}}{n!}\Gamma(n+1,- \ln x) + \sum_{n=m+1}^\infty(-1)^na_{mn}\Gamma(n+1,-\ln x) \qquad\mbox{(za }x> 0\mbox{)}}</math>
:: where <math>a_{mn}=\begin{cases}1 &\text{kadar je } n = 0, \\ \frac{1}{n!} &\text{kadar je } m=1, \\ \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}ja_{m,n-j}a_{m-1,j-1} &\text{v ostalih primerih } \end{cases}</math>
:: in <math>\Gamma(x,y)</math> je [[gama funkcija]]
 
:<math>\int \frac{1}{ae^{\lambda x} + b} \; \mathrm{d}x = \frac{x}{b} - \frac{1}{b \lambda} \ln\left(a e^{\lambda x} + b \right) \,</math> kadar je <math>b \neq 0</math>, <math>\lambda \neq 0</math> in <math>ae^{\lambda x} + b > 0 \,.</math>
 
:<math>\int \frac{e^{2\lambda x}}{ae^{\lambda x} + b} \; \mathrm{d}x = \frac{1}{a^2 \lambda} \left[a e^{\lambda x} + b - b \ln\left(a e^{\lambda x} + b \right) \right] \,</math> kadar je <math>a \neq 0</math>, <math>\lambda \neq 0</math> in <math>ae^{\lambda x} + b > 0 \,</math>.
 
== Določeni intagrali ==
 
: <math>
\int_0^1 e^{x\cdot \ln a + (1-x)\cdot \ln b}\;\mathrm{d}x =
\int_0^1 \left(\frac{a}{b}\right)^{x}\cdot b\;\mathrm{d}x =
\int_0^1 a^{x}\cdot b^{1-x}\;\mathrm{d}x =
\frac{a-b}{\ln a - \ln b}</math> za <math>a > 0,\ b > 0,\ a \ne b</math>, kar je [[logaritemska sredina]]
 
:<math>\int_{0}^{\infty} e^{ax}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{|a|} \quad (a<0)</math>
 
:<math>\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \sqrt{\pi \over a} \quad (a>0)</math> ([[Gaussov integral]])
 
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\pi \over a} \quad (a>0)</math>
 
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} e^{-2bx}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{a}} \quad (a>0)</math> (glej [[integral Gaussove funkcije]])
 
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} x e^{-a(x-b)^2}\,\mathrm{d}x= b \sqrt{\frac{\pi}{a}}</math>
 
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \sqrt{\pi \over a^3} \quad (a>0)</math>
 
:<math>\int_{0}^{\infty} x^{n} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x =
\begin{cases}
\frac{1}{2}\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)/a^{\frac{n+1}{2}} & (n>-1,a>0) \\
\frac{(2k-1)!!}{2^{k+1}a^k}\sqrt{\frac{\pi}{a}} & (n=2k, k \;\text{integer}, a>0) \\
\frac{k!}{2a^{k+1}} & (n=2k+1,k \;\text{integer}, a>0)
\end{cases} </math> (!! pomeni [[dvojna fakulteta|dvojno fakulteto]])
 
:<math>\int_{0}^{\infty} x^n e^{-ax}\,\mathrm{d}x =
\begin{cases}
\frac{\Gamma(n+1)}{a^{n+1}} & (n>-1,a>0) \\
\frac{n!}{a^{n+1}} & (n=0,1,2,\ldots,a>0) \\
\end{cases}</math>
 
:<math>\int_{0}^{\infty} e^{-ax}\sin bx \, \mathrm{d}x = \frac{b}{a^2+b^2} \quad (a>0)</math>
 
:<math>\int_{0}^{\infty} e^{-ax}\cos bx \, \mathrm{d}x = \frac{a}{a^2+b^2} \quad (a>0)</math>
 
:<math>\int_{0}^{\infty} xe^{-ax}\sin bx \, \mathrm{d}x = \frac{2ab}{(a^2+b^2)^2} \quad (a>0)</math>
 
:<math>\int_{0}^{\infty} xe^{-ax}\cos bx \, \mathrm{d}x = \frac{a^2-b^2}{(a^2+b^2)^2} \quad (a>0)</math>
 
:<math>\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta} d \theta = 2 \pi I_{0}(x)</math> (<math>I_{0}</math> je modificirana [[Besselova funkcija]] prve vrste)
 
:<math>\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I_{0} \left( \sqrt{x^2 + y^2} \right)</math>
 
== Glej tudi ==
* [[seznam integralov hiperboličnih funkcij]]
* [[seznam integralov iracionalnih funkcij]]
* [[seznam integralov racionalnih funkcij]]
* [[seznam integralov iracionalnih funkcij]]
* [[seznam integralov trigonometričnih funkcij]]
* [[seznam integralov logaritemskih funkcij]]
* [[seznam integralov Gaussovih funkcij]]
 
[[Kategorija:Integrali]]
[[Kategorija:Matematični seznami]]
[[Kategorija:Gaussova funkcija]]
 
[[ar:ملحق:قائمة تكاملات الدوال الأسية]]
[[en:List of integrals of Gaussian functions]]
[[bs:Spisak integrala eksponencijalnih funkcija]]
[[ca:Llista d'integrals de funcions exponencials]]
[[cs:Seznam integrálů exponenciálních funkcí]]
[[en:List of integrals of exponential functions]]
[[es:Anexo:Integrales de funciones exponenciales]]
[[eu:Funtzio esponentzialen integralen zerrenda]]
[[fa:فهرست انتگرال تابع‌های نمایی]]
[[fr:Primitives de fonctions exponentielles]]
[[gl:Lista de integrais de funcións exponenciais]]
[[hr:Popis integrala eksponencijalnih funkcija]]
[[id:Daftar integral dari fungsi eksponensial]]
[[it:Tavola degli integrali indefiniti di funzioni esponenziali]]
[[hu:Exponenciális függvények integráljainak listája]]
[[ro:Primitivele funcțiilor exponențiale]]
[[nl:Lijst van integralen van exponentiële functies]]
[[km:តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល]]
[[pt:Anexo:Lista de integrais de funções exponenciais]]
[[ru:Список интегралов от экспоненциальных функций]]
[[sk:Zoznam integrálov exponenciálnych funkcií]]
[[sr:Списак интеграла експоненцијалних функција]]
[[sh:Popis integrala eksponencijalnih funkcija]]
[[tr:Üstel fonksiyonların integralleri]]
[[uk:Таблиця інтегралів експоненціальних функцій]]
[[vi:Danh sách tích phân với hàm mũ]]
[[zh:指数函数积分表]]
9.259

urejanj