Besslova funkcija: razlika med redakcijama

odstranjena 2 zloga ,  pred 9 leti
m
slog
m (r2.7.1) (robot Dodajanje: et:Besseli võrrand)
m (slog)
'''Besslove funkcije''' [béslove fúnkcije] (pogosteje '''Bésselove f.''') so družina [[transcendentne funkcije|transcendentnih]] [[funkcija|funkcij]], ki rešijo Besslovo [[diferencialna enačba|diferencialno enačbo]]:
 
: <math> x^{2} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + x \frac{dy}{dx}+\left( x-\nu \right) y=0 </math>
: <math>
x^{2} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + x \frac{dy}{dx}+\left( x-\nu \right) y=0
</math>
 
KotBesslove prvifunkcije jihje jeprvi definiral [[Švicarji|švicarski]] [[matematik]] [[Daniel Bernoulli]] in jih poimenoval po [[Friedrich Wilhelm Bessel|Friedrichu Wilhelmu Besslu]].
 
== Uporabnost Besslovih funkcij ==
[[Slika:BesselJ plot.svg|thumb|right|350px|Graf Besslove funkcije prve vrste za red &nu; = 0,1,2.]]
'''Besslova funkcija prve vrste reda <math>\nu</math>''' se izračuna kot:
 
: <math>
: <math> J_{\nu }=\sum_{m=0}^{\infty }\frac{\left( -1\right) ^{m}x^{2m+\nu }}{2^{2m+\nu }m!\Gamma \left( m+\nu +1\right)} </math>
</math>
 
Če <math>\nu </math> ni [[celo število]], funkciji <math>J_{\nu }\left( x\right) </math> in
<math>J_{-\nu }\left( x\right) </math> nista [[linearna odvisnost|linearno odvisni]], zato ima v tem primeru [[splošna rešitev]] Besslove diferencialne enačbe obliko:
 
: <math> y\left( x\right) =c_{1} J_{\nu }\left( x\right) +c_{2} J_{-\nu }\left( x\right) \qquad \left( \nu \not\in {\mathcal Z}\right) </math>
: <math>
y\left( x\right) =c_{1} J_{\nu }\left( x\right) +c_{2} J_{-\nu }\left( x\right) \qquad \left( \nu \not\in {\mathcal Z}\right)
</math>
 
Kjer sta <math>c_{1}</math> in <math>c_{2}</math> odvisna od začetnih pogojev.
<math>J_{-\nu }\left( x\right) </math> linearno odvisni, saj velja:
 
: <math> J_{-\nu }\left( x\right) =\left( -1\right) ^{\nu }J_{\nu }\left( x\right) </math>
: <math>
J_{-\nu }\left( x\right) =\left( -1\right) ^{\nu }J_{\nu }\left( x\right)
</math>
[[Slika:BesselY plot.svg|thumb|350px|right|Graf Besslove funkcije druge vrste za red &nu; = 0,1,2.]]
V tem primeru potrebujemo '''Besslovo funkcijo druge vrste reda <math>\nu</math>''', ponekod imenovano tudi ''Neumannova funkcija'' ali ''Webrova funkcija'':
 
: <math> Y_{\nu }\left( x\right) =\lim_{m\to \nu } \frac{J_{m}\left( x\right) \cos \left(\pi m\right) -J_{-m}\left( x\right) }{\sin \left( \pi m\right) } </math>
: <math>
Y_{\nu }\left( x\right) =\lim_{m\to \nu } \frac{J_{m}\left( x\right) \cos \left(\pi m\right) -J_{-m}\left( x\right) }{\sin \left( \pi m\right) }
</math>
 
V tem primeru je splošna rešitev Besslove diferencialne enačbe za katerikoli [[realno število|realni]] <math>\nu</math> enaka:
 
: <math> y\left( x\right) =c_{1} J_{\nu }\left( x\right) +c_{2} Y_{\nu }\left( x\right) \qquad \left( \nu \in {\mathcal R}\right) </math>
: <math>
y\left( x\right) =c_{1} J_{\nu }\left( x\right) +c_{2} Y_{\nu }\left( x\right) \qquad \left( \nu \in {\mathcal R}\right)
</math>
 
 
{{math-stub}}