Število zlatega reza: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m Decimalna vejica |
1024 decimalk|nekaj dodatkov|poglavja |
||
Vrstica 1:
'''[[Število]] [[zlati rez|zlatega reza]]''' je [[matematična konstanta]], ponavadi označena z veliko [[grščina|grško]] [[črka|črko]] [[fi (črka)|<font size="+1">Φ</font> (fi)]] (
: <math>\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803398874989484... </math>
Vrstica 8:
Številu rečejo tudi [[zlato razmerje]].
== Lastnosti ==
Število je pozitivni [[realno število|realni]] koren [[kvadratne enačbe]]:
Vrstica 13 ⟶ 15:
: <math>\Phi^2 = \Phi + 1\ </math>
z
in
: <math>\Phi^3=\frac{\Phi+1}{\Phi-1}.</math>
▲: <math>\Phi-1=\frac{1}{\Phi}, \qquad \hbox{oziroma} \qquad \Phi = 1 + \frac{1}{\Phi}.</math>
Za količine rečemo, da so v razmerju zlatega reza, če je celota v enakem razmerju z večjim delom kot je večji del v enakem razmerju z manjšim, oziroma če velja:
Vrstica 35 ⟶ 42:
Dejstvo, da je [[daljica]] razdeljena na dva dela z [[dolžina]]ma ''a'' in ''b'' v razmerju zlatega reza je v nekaterih besedilih označeno kot »delitev daljice v največjem in srednjem razmerju«.
== Matematične uporabe ==
Ker je Φ po definiciji koren [[polinom]]ske enačbe, je [[algebrsko število]]. Pokazati se da, da je Φ [[iracionalno število]].▼
▲Ker je Φ po definiciji koren [[polinom]]ske enačbe, je [[algebrsko število]]. Pokazati se da, da je Φ [[iracionalno število]]. Ker je 1+1/Φ = Φ, je neskončni [[verižni ulomek]] števila Φ eden od najpreprostejših:
:<math>\Phi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}} = [1;1,1,1,1, ...]</math>
Vrstica 44 ⟶ 52:
Kepler je pokazal, da stopnja rasti [[Fibonaccijevo število|Fibonaccijevih števil]] ''F''(''n''+1)/''F''(''n'') [[konvergenca|konvergira]] k Φ.
== Decimalke ==
Prvih nekaj decimalk števila zlatega reza je:▼
<code>
1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576
2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374
8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766
7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788
0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963
1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364
8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221
2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788
3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053
1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710
1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834
7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764
8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115
8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131
7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596
1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175
3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093
9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264
7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149
9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362
1076738937 6455606060 5921...
</code>
Znanih je 3.141.000.000 decimalk.
== Vrednosti iz verižnega ulomka ==
: <math>\Phi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}}</math>
: <math>\Phi = 1 + \frac{1}{\Phi}</math>
: <math>(\Phi)(\Phi - 1) = 1 \,\;</math>
: <math>(\Phi)^2 - \Phi - 1 = 0 \,\;</math>
: <math>\Phi = \frac{1+\sqrt{1^2 - (4 \times 1 \times -1)}}{2}</math>
: <math>\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>
=== Vrednosti iz vgnezdenih korenov ===
:<math>\Phi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 +\cdots }}}}</math>
:<math>\Phi = \sqrt{1 + \phi}</math>
:<math>itd.</math>
== Glej tudi ==
* [[Golombovo zaporedje]] (SIDN A1462, ''n''-ti člen zaporedja konvergira k <math>\Phi^{2-\Phi} n^{\Phi-1}</math>)
[[de:Goldener Schnitt]]
| |||