Dolžina loka: Razlika med redakcijama

dodanih 139 zlogov ,  pred 10 leti
m
slog
m (dopolnitev)
m (slog)
Določanje dolžine loka krivulje se imenuje tudi rektifikacija krivulje. Vzemimo realno [[funkcija|funkcijo]] <math> f(x) </math>, ki ima zvezni odvod v intervalu <math> [a, \text { } b] </math>, tako da je <math>f'(x)=\frac{dy}{dx}</math>. Dolžina loka med točkama <math> x= a \,</math> in <math> x= b \,</math> se določa z:
 
: <math> s = \int_{a}^{b} \sqrt { 1 + [f'(x)]^2 }\, dx{\rm d} x \!\, . </math>
 
Kadar pa je funkcija dana v [[polarni koordinatni sistem|polarnem koordinatnem sistemu]] kot <math> r = f(\theta) </math>, je dolžina loka podana z:
 
: <math> s = \lim \sum_a^b \sqrt { \Delta x^2 + \Delta y^2 } = \int_{a}^{b} \sqrt { dx{\rm d} x^2 + dy{\rm d} y^2 } = \int_{a}^{b} \sqrt { \left(\frac{dx{\rm d} x}{dt{\rm d} t}\right)^2 + \left(\frac{dy{\rm d} y}{dt{\rm d} t}\right)^2 } \,dt {\rm d} t \!\, . </math>
 
Določanje teh integralov je tudi za najenostavnejše krivulje zelo težko. V večini primerov je potrebno uporabiti [[numerično integriranje]].
Na sliki na desni strani lahko uporabimo [[Pitagorov izrek]] in dobimo:
 
: <math> ds{\rm d} s = \sqrt{dx{\rm d} x^2 + dy{\rm d} y^2} \!\, </math>
 
ali v drugi obliki:
 
: <math> \int_a^b \sqrt{\bigg(\frac{dx{\rm d} x}{dt{\rm d} t}\bigg)^2+\bigg(\frac{dy{\rm d} y}{dt{\rm d} t}\bigg)^2} \,dt {\rm d} t \!\, . </math>
 
Kadar je <math> y \,</math> funkcija <math> x \,</math>, lahko vzamemo <math> t =x \,</math>, in dobimo za dolžino loka od <math> x=a </math> do <math> x=b </math>:
 
: <math>\int_a^b \sqrt{1+\bigg(\frac{dy{\rm d} y}{dx{\rm d} x}\bigg)^2} \,dx {\rm d} x \!\, . </math>
== Zunanje povezave ==