Dolžina loka: Razlika med redakcijama

dodanih 169 zlogov ,  pred 10 leti
m
dopolnitev
m (r2.7.1) (robot Spreminjanje: en:Arc length)
m (dopolnitev)
'''DolžinaDolžína lokalóka''' (oziroma dolžina'''dolžína lokalóka krivuljekrivúlje''') je [[dolžina]] vzdolž [[krivulja|krivulje]] med dvema danima točkama[[točka]]ma. To dolžino bi dobili, če bi krivuljo raztegnili v [[premica|premico]].
 
== Določanje dolžine loka ==
Vzemimo realno [[funkcija|funkcijo]] <math> f(x) </math>, ki ima zvezni odvod v intervalu <math> [a, \text { } b] </math> tako, da je <math>f'(x)=\frac{dy}{dx}</math>.
Dolžina loka med točkama <math> x= a \,</math> in <math> x= b \,</math> se določa z
: <math>s = \int_{a}^{b} \sqrt { 1 + [f'(x)]^2 }\, dx </math>.
 
Določanje dolžine loka krivulje se imenuje tudi rektifikacija krivulje. Vzemimo realno [[funkcija|funkcijo]] <math> f(x) </math>, ki ima zvezni odvod v intervalu <math> [a, \text { } b] </math>, tako, da je <math>f'(x)=\frac{dy}{dx}</math>. Dolžina loka med točkama <math> x= a \,</math> in <math> x= b \,</math> se določa z:
Kadar pa je funkcija dana v [[polarni koordinatni sistem|polarnem koordinatnem sistemu]] kot <math> r = f(\theta) </math>, je dolžina loka podana z
 
:<math>s = \lim \sum_a^b \sqrt { \Delta x^2 + \Delta y^2 } = \int_{a}^{b} \sqrt { dx^2 + dy^2 } = \int_{a}^{b} \sqrt { \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 }\,dt </math>.
: <math> s = \int_{a}^{b} \sqrt { 1 + [f'(x)]^2 }\, dx \!\, . </math>.
 
Kadar pa je funkcija dana v [[polarni koordinatni sistem|polarnem koordinatnem sistemu]] kot <math> r = f(\theta) </math>, je dolžina loka podana z :
 
: <math> s = \lim \sum_a^b \sqrt { \Delta x^2 + \Delta y^2 } = \int_{a}^{b} \sqrt { dx^2 + dy^2 } = \int_{a}^{b} \sqrt { \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 }\,dt \!\, . </math>.
 
Določanje teh integralov je tudi za najenostavnejše krivulje zelo težko. V večini primerov je potrebno uporabiti [[numerično integriranje]].
 
[[Slika:Arclength-approx.png|thumb|right|Za majhen del krivulje lahko približno za dolžino loka ∆s uporabimo [[Pitagorov izrek]].]]
== Odvod ==
 
Da bi izračunali približno vrednost loka krivulje, pogosto razdelimo krivuljo na veliko manjših delov. Da bi dobili točno vrednost loka in ne približek, moramo razdeliti krivuljo na [[neskončnost|neskončno]] mnogo manjših delov. To pa pomeni, da je vsak del neskončno majhen.
 
Na sliki na desni strani lahko uporabimo [[Pitagorov izrek]] in dobimo:
:<math>ds = \sqrt{dx^2 + dy^2}.\, </math>
ali v drugi obliki
:<math>\int_a^b \sqrt{\bigg(\frac{dx}{dt}\bigg)^2+\bigg(\frac{dy}{dt}\bigg)^2}\,dt,</math>
 
: <math> ds = \sqrt{dx^2 + dy^2}. \!\, </math>
Kadar je <math> y \,</math> funkcija <math> x \,</math>, lahko vzamemo <math> t =x \,</math>, in dobimo za dolžino loka od <math> x=a </math> do <math> x=b </math>
 
:<math>\int_a^b \sqrt{1+\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)^2}\,dx,</math>.
ali v drugi obliki:
 
: <math> \int_a^b \sqrt{\bigg(\frac{dx}{dt}\bigg)^2+\bigg(\frac{dy}{dt}\bigg)^2}\,dt \!\, . </math>
 
Kadar je <math> y \,</math> funkcija <math> x \,</math>, lahko vzamemo <math> t =x \,</math>, in dobimo za dolžino loka od <math> x=a </math> do <math> x=b </math>:
 
: <math>\int_a^b \sqrt{1+\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)^2}\,dx \!\, . </math>.
== Zunanje povezave ==
 
* [http://mathworld.wolfram.com/ArcLength.html Dolžina loka] na [[MathWorld]]] {{ikona en}}
* [http://www.themathpage.com/atrig/arc-length.htm Dolžina loka na MathPage] {{ikona en}}
* [http://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/arc_length/ Dolžina loka na Mathematics (Harvey Mudd College] {{ikona en}}