122.886
urejanj
m
dopolnitev
m (r2.7.1) (robot Spreminjanje: en:Arc length) |
m (dopolnitev) |
||
|
'''
== Določanje dolžine loka ==
Vzemimo realno [[funkcija|funkcijo]] <math> f(x) </math>, ki ima zvezni odvod v intervalu <math> [a, \text { } b] </math> tako, da je <math>f'(x)=\frac{dy}{dx}</math>. ▼
: <math>s = \int_{a}^{b} \sqrt { 1 + [f'(x)]^2 }\, dx </math>.▼
▲Določanje dolžine loka krivulje se imenuje tudi rektifikacija krivulje. Vzemimo realno [[funkcija|funkcijo]] <math> f(x) </math>, ki ima zvezni odvod v intervalu <math> [a, \text { } b] </math>, tako
Kadar pa je funkcija dana v [[polarni koordinatni sistem|polarnem koordinatnem sistemu]] kot <math> r = f(\theta) </math>, je dolžina loka podana z ▼
:<math>s = \lim \sum_a^b \sqrt { \Delta x^2 + \Delta y^2 } = \int_{a}^{b} \sqrt { dx^2 + dy^2 } = \int_{a}^{b} \sqrt { \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 }\,dt </math>.▼
▲Kadar pa je funkcija dana v [[polarni koordinatni sistem|polarnem koordinatnem sistemu]] kot <math> r = f(\theta) </math>, je dolžina loka podana z
▲: <math> s = \lim \sum_a^b \sqrt { \Delta x^2 + \Delta y^2 } = \int_{a}^{b} \sqrt { dx^2 + dy^2 } = \int_{a}^{b} \sqrt { \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 }\,dt \!\, . </math>
Določanje teh integralov je tudi za najenostavnejše krivulje zelo težko. V večini primerov je potrebno uporabiti [[numerično integriranje]].
[[Slika:Arclength-approx.png|thumb|right|Za majhen del krivulje lahko približno za dolžino loka ∆s uporabimo [[Pitagorov izrek]].]]
== Odvod ==
Da bi izračunali približno vrednost loka krivulje, pogosto razdelimo krivuljo na veliko manjših delov. Da bi dobili točno vrednost loka in ne približek, moramo razdeliti krivuljo na [[neskončnost|neskončno]] mnogo manjših delov. To pa pomeni, da je vsak del neskončno majhen.
Na sliki na desni strani lahko uporabimo [[Pitagorov izrek]] in dobimo:
:<math>ds = \sqrt{dx^2 + dy^2}.\, </math>▼
ali v drugi obliki▼
:<math>\int_a^b \sqrt{\bigg(\frac{dx}{dt}\bigg)^2+\bigg(\frac{dy}{dt}\bigg)^2}\,dt,</math>▼
Kadar je <math> y \,</math> funkcija <math> x \,</math>, lahko vzamemo <math> t =x \,</math>, in dobimo za dolžino loka od <math> x=a </math> do <math> x=b </math>▼
:<math>\int_a^b \sqrt{1+\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)^2}\,dx,</math>.▼
▲ali v drugi obliki:
▲: <math> \int_a^b \sqrt{\bigg(\frac{dx}{dt}\bigg)^2+\bigg(\frac{dy}{dt}\bigg)^2}\,dt \!\, . </math>
▲Kadar je <math> y \,</math> funkcija <math> x \,</math>, lahko vzamemo <math> t =x \,</math>, in dobimo za dolžino loka od <math> x=a </math> do <math> x=b </math>:
== Zunanje povezave ==
* [http://mathworld.wolfram.com/ArcLength.html Dolžina loka] na [[MathWorld
* [http://www.themathpage.com/atrig/arc-length.htm Dolžina loka na MathPage] {{ikona en}}
* [http://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/arc_length/ Dolžina loka na Mathematics (Harvey Mudd College] {{ikona en}}
| |||