Homogene koordinate: Razlika med redakcijama

'''Homogene koordinate''' (homogeni koordinatni sistem, koordinate označujemo z <math> (X, Y, Z) \,</math>) v [[matematika|matematiki]] predstavlja sistem koordinat, ki se uporablja v [[projektivna geometrija|projektivni geometriji]] tako, kot se [[kartezične koordinate]] uporabljajo v [[Evklidska geometrija|Evklidski geometriji]]. Prednost te vrste koordinatnega sistema je v tem, da lahko točke, vključno s točkami v neskončnosti, prikažemo z uporabo končnih koordinat. Matematični obrazci se z uporabo homogenih koordinat pogosto poenostavijo in postanejo enostavnejši in bolj simetrični kot so v kartezičnih koordinatah. Homogene koordinate so zelo primerne za predstavitev in transformacijo objektov.▼

Homogene koordinate je vpeljal [[Nemci|nemški]] [[matematik]] in [[astronom]] [[August Ferdinand Möbius]] (1790 – 1868) leta [[1827]] <ref>[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Mobius.html Življenjepis Möbiusa na MacTutor History of Mathematical archive]</ref><ref>▼

Homogene koordinate se uporabljajo na veliko področjih. Med najpomembnejšimi sta [[računalniška grafika]] in trirazsežnem [[računalniški vid|računalniškem vidu]] ter v [[robotika|robotiki]], kjer so omogočene [[afina transformacija|afine transformacije]] in [[projektivna transformacija|projektivne transformacije]] ([[homografija]] ali projektivnost), ki jih lahko zelo preprosto prikažemo kot [[matrika|matrike]]. Zaporedoma lahko uporabimo različne transformacije in tako lahko dobimo zelo komplicirano transformacijo. Postopku zaporedne uporabe transformacij pravimo ''sestavljanje ali veriženje transformacij''. Kadar sestavimo dve afini transformaciji v novo transformacijo, dobimo zopet afino transformacijo. ▼

Med matrične operacije (imenujemo jih tudi elementarne operacije te oblike prištevamo [[premik (geometrija)|premik]], [[vrtenje (matematika)|vrtenje]], [[skaliranje (geometrija)|skaliranje]] in [[perspektivna projekcija]]. Z uporabo homogenih koordinat lahko afine transformacije dobimo z množenjem matrik.▼

Kadar homogene koordinate točke množimo z neničelnim [[skalar]]jem nam dobljene koordinate predstavljajo isto točko. ▼

Vsaki točki v [[Evklidska ravnina|Evklidski ravnini]] lahko priredimo par realnih koordinat v obliki <math> (x, y) \,</math>. Te koordinate imenujemo ''nehomogene koordinate'' točke v ravnini. Običajno v ravnini potrebujemo tri koordinate <math> (x, y, z) \,</math>. Če posamezne koordinate delimo z <math> z \,</math>, ki ni enak nič, dobimo koordinate v obliki <math> (x, y, 1) \,</math>. Pri tem pa so homogene koordinate točke <math> (\frac {x} {z},\frac {x} {z}, 1) \,</math>, nehomogene pa za isto točko <math> (\frac {x} {z},\frac {x} {z}) \,</math>. Iz tega vidimo, da je točka s homogenimi koordinatami <math> (x, y, 0) \,</math> premica v neskončnosti. V [[projektivna ravnina|projektivni ravnini]] imamo točko tudi v neskončnosti. Koordinate te točke bi lahko zapisali kot <math> (\infty, \text { }\infty) </math>, kar pa je v evklidskem prostoru nesmisel. Homogene koordinate omogočajo predstavitev n-razsežnih koordinat z n + 1 števili. Točka <math> (1 \text { }, 2) </math> postane tako v homogenih koordinatah <math> (1, \text { } 2, \text { } 1) </math>. To si lahko predstavljamo kot, da se je točka <math> (1, \text { } 2) </math> pomaknila v neskončnost in postala točka <math> (1, \text { } 2, \text { } 0) </math>.▼

To pomeni, da za točko s koordinatama <math> (x, \text { } y) \,</math> v evklidskem prostoru dobimo homogene koordinate točke tako, da dodamo tretjo koordinato <math> (x, \text { } y,\text { } 1) \,</math>. Velja pa tudi za vsak neničelen <math> \alpha \,</math>▼

: <math> (X,\text { } Y,\text { } Z\text { }) = (\alpha X,\text { } \alpha Y,\text { } \alpha Z\text { }) \,</math> ▼

:<math>f(\lambda x, \lambda y, \lambda z) = \lambda^k f(x,y,z).\,</math>▼

Če dana skupina koordinat predstavlja isto točko <math> (x, \text { } y, \text { } z) </math>, potem velja tudi ▼

<math> (\lambda x, \text { } \lambda y, \text { } \lambda z) </math>▼

za poljuben neničelen <math> \lambda </math>▼

:<math> f(x,y,z)=0 \iff f(\lambda x, \lambda y, \lambda z) = \lambda^k f(x,y,z)=0.\,</math>▼

:<math>f(x, y, z)=z^k g(x/z, y/z) \,</math>.▼

Postopek se lahko obrne s postavitvijo <math> z = 1 \,</math> ali, kar je isto▼

:<math>g(x, y)=f(x, y, 1) \,</math>. ▼

Enačba <math> f(x, \text { } y, \text { } z) = 0 </math> si lahko zamislimo kot homogeno obliko <math> g(x, \text { } y,) = 0 </math>. Predstavlja tudi isto krivuljo, če ostanemo v Evklidskem prostoru. Primer: Homogena oblika enačbe premice <math> ax + by + c = 0 </math> je <math> ax + by + cz = 0 </math>.▼

Podobno kot v kartezičnem koordinatnem sistemu lahko poljubno izberemo osi, je tudi pri homogenih koordinatah možna izbira med vsemi možnimi sistemi. Dobro je vedeti kako so med seboj povezani različni sistemi. ▼

Naj bodo (x, y, z) homogene koordinate točke na projektivni ravnini in za matriko ▼

:<math>A=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix} </math>, ▼

:<math>X=0,\,Y=0,\,Z=0</math> v homogenem sistemu tvorijo ''referenčni trikotnik''.▼