Odpre glavni meni

Spremembe

m
pnp
{{nereferencirano}}
[[Slika:Real number line.svg|thumb|right|300px|[[Številska premica]]]]
'''Reálno števílo''' je [[matematika|matematični]] pojem, intuitivno določen kot [[število]], ki ustreza [[točka|točki]] na [[številska premica|številski premici]]. Sam izraz »realno število« je [[retronim]], skovan kot odgovor na »[[imaginarno število]]«.
 
[[Matematik]]i uporabljajo za oznako množice realnih števil oznako '''R''' ali <math> \Bbb{R} </math>.
 
V matematiki se pridevnik »realni« (npr. [[matrika|realna matrika]], [[polinom|realni polinom]], [[Liejeva algebra|realna Liejeva algebra]]) uporablja za označitev dejstva, da je [[polje (matematika)|polje]]obseg, ki je podlaga tem pojmom, poljeobseg realnih števil.
 
Realnih števil je [[neskončnost|neskončno]] mnogo. Vendar pa je realnih števil več kot [[naravno število|naravnih]], z drugimi besedami je [[kardinalno število]] [[množica|množice]] realnih števil večje ob števila množice naravnih, v kar se prepričamo s [[Cantorjev diagonalni dokaz|Cantorjevim diagonalnim dokazom]]. To pomeni, da ne obstaja nobena [[bijektivna preslikava]] iz ene množice v drugo.
{''x''<sub>i</sub>} ~ {''y''<sub>i</sub>}, če je tudi prepleteno zaporedje ''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>, ... Cauchyjevo. Množica realnih števil, označena z '''R''' ali <math>\mathbb{R}</math>, je množica [[ekvivalenčni razred|ekvivalenčnih razredov]] Cauchyjevih zaporedij glede na [[ekvivalenčna relacija|ekvivalenčno relacijo]] ~.
 
Realna števila tvorijo poljeobseg, saj jih lahko seštevamo, odštevamo, množimo in delimo.
Realna števila so [[linearna urejenost|linearno urejena]] z relacijo ''manjši''. Zadoščajo še [[Arhimedov aksiom|Arhimedovemu]] [[aksiom]]u, ki pravi, da za vsako realno število ''x'' obstaja naravno število ''n'', ki je večje od ''x''. Poleg tega realna števila tvorijo [[polnpolni obseg]], ker ima vsako Cauchyjevo zaporedje realnih števil enolično določeno [[limita|limito]]. S temi lastnostmi so realna števila natanko določena kot [[algebrska struktura]]: vsakovsak polnopolni linearno urejenourejeni poljeobseg, ki zadošča Arhimedovemu aksiomu, je [[izomorfizem|izomorfnoizomorfen]] realnim številom.
 
Lastnost polnosti je ekvivalentna lastnosti ''najmanjše zgornje meje'', ki pravi, da ima vsaka neprazna navzgor omejena podmnožica realnih števil [[supremum]].