Integral: Razlika med redakcijama

Izbrisana vsebina Dodana vsebina
TXiKiBoT (pogovor | prispevki)
m robot Dodajanje: ta:தொகையீடு
m dp
Vrstica 4:
Temelje integralskega računa sta postavila [[Isaac Newton]] in [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] v poznem [[17. stoletje|17. stoletju]]. Integral funkcije je prek [[osnovni izrek infinitezimalnega računa|osnovnega izreka infinitezimalnega računa]] povezan z njenim odvodom, določen integral funkcije na nekem intervalu pa je, ko poznamo nedoločenega, moč enostavno izračunati. Integral in odvod sta postala osnovni orodji infinitezimalnega računa, izjemno uporabnega v [[znanost]]i in [[tehnika|tehniki]].
 
== Nedoločeni in določeni integral ==
 
Beseda integral zajema dva precej različna pojma:
*'''Nedoločeni integral''' dane funkcije ''f'' je funkcija ''F'', katere odvod je enak dani funkciji ''f''. V tem smislu je integriranje obratna operacija kot [[odvod|odvajanje]]. Rezultat nedoločenega integrala imenujemo [[primitivna funkcija]].
Vrstica 12 ⟶ 13:
Določeni in nedoločeni integral povezuje [[osnovni izrek infinitezimalnega računa]], ki se imenuje tudi [[Newton-Leibnizeva formula]]: Ploščino omenjenga lika izračunamo tako, da najprej z nedoločenim integralom izračunamo primitivno funkcijo ''F'', potem pa vanjo vstavimo meji intervala: ''p'' = ''F(b) − F(a)''.
 
== Osnovni izrek infinitezimalnega računa ==
{{glavni|Osnovni izrek infinitezimalnega računa}}
 
Osnovni izrek infinitezimalnega računa pravi, da sta si odvajanje in (nedoločeno) integriranje inverzni operaciji: če neko [[zveznost funkcije|zvezno funkcijo]] integriramo in nato odvajamo, spet dobimo začetno funkcijo. Pomembna posledica, včasih imenovana drugi osnovni izrek infinitezimalnega računa, omogoča izračun določenega integrala funkcije s pomočjo njenih nedoločenih integralov.
 
=== Izreki ===
 
* '''''Osnovni izrek infinitezimalnega računa.''''' Naj bo ''f'' [[realna števila|realna]] integrabilna [[funkcija]], definirana na zaprtem [[interval]]u [''a'', ''b'']. Če je ''F'' definirana za ''x'' na intervalu [''a'', ''b''] s predpisom
 
:: <math> F(x) = \int_a^x f(t)\, dt\mathrm{d} t.</math>
: je ''F'' [[zveznost funkcije|zvezna]] na intervalu [''a'', ''b'']. Če je ''f'' zvezna v točki ''x'' na intervalu [''a'', ''b''], je ''F'' [[odvod|odvedljiva]] v točki ''x'', in ''F''&thinsp;&prime;(''x'') = ''f''(''x'').
 
* '''''Drugi osnovni izrek infinitezimalnega računa.''''' Naj bo ''f'' realna integrabilna funkcija, definirana na zaprtem intervalu [''a'', ''b'']. Če je ''F'' takšna funkcija, da ''F''&thinsp;&prime;(''x'') = ''f''(''x'') za vsak ''x'' na intervalu [''a'', ''b''] (torej, ''F'' je nedoločeni integral funkcije ''f''), potem
 
:: <math> \int_a^b f(t)\, dt\mathrm{d} t = F(b) - F(a). </math>
 
* '''''Opomba.''''' Če je ''f'' zvezna funkcija na intervalu [''a'', ''b''], je ''f'' odvedljiva na intervalu [''a'', ''b''], in ''F'', definirana z
 
:: <math> F(x) = \int_a^x f(t) \, dt\mathrm{d} t </math>
:je nedoločeni integral funkcije ''f'' na [''a'', ''b'']. Nadalje
 
:: <math> \int_a^b f(t) \, dt\mathrm{d} t = F(b) - F(a). </math>
 
==Glej tudi==