Bertrandov izrek: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
+ |
|||
Vrstica 3:
: <math> V(\vec\mathbf{r}) = \frac{-k}{r} \!\, , </math>
in za preprost
: <math> V(\vec\mathbf{r}) = \frac{k r^{2}}{2} \!\, . </math>
Vrstica 33:
== Bertrandov izrek ==
Kot je omenjeno zgoraj, lahko centralne sile za dano začetno hitrost povzročajo krožne tire. Vendar pri določeni radialni hitrosti ti tiri niso nujno stabilni ali sklenjeni. Stabilne in strogo sklenjene tire lahko povzročajo le obratne kvadratne sile in potencial radialnega harmoničnega oscilatorja (pokazana sta potreben in zadosten pogoj).
V enačbo za <math>u</math> zaradi zgoščenega zapisa uvedemo funkcijo <math>J(u)\!\,</math>:
Vrstica 61:
: <math> \eta(\theta) = h_{1} \cos \beta\theta \!\, , </math>
kjer je <math>h_{1}</math> [[aditivna konstanta|integracijska konstanta]]. Da so tiri sklenjeni, mora biti <math>\beta</math> [[racionalno število]]. Mora biti tudi ''enako'' racionalno število za vse polmere, saj se <math>\beta</math> ne more vseskozi spreminjati; racionalna števila so med seboj popolnoma nepovezana. Ker morajo enačbe iz definicije:
: <math> J^{\prime}(u_{0}) \equiv -2 + \frac{u_{0}}{f(1/u_{0})} \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u} = 1 - \beta^{2} \!\, </math>
Vrstica 99:
: <math> \beta^{2} \left( 1 - \beta^{2} \right) \left( 4 - \beta^{2} \right) = 0 \!\, . </math>
Tako so edini [[potencial]]i, ki lahko povzročajo stabilne, sklenjene, nekrožne tire, obratni kvadratni zakon sile (<math>\beta = 1</math>) in
== Obratna kvadratna sila (Keplerjev problem) ==
Vrstica 115:
: <math> u \equiv \frac{1}{r} = \frac{km}{L^{2}} \left[ 1 + e \cos \left( \theta - \theta_{0}\right) \right] \!\, . </math>
Tu sta <math>e</math> ([[izsrednost]]) in <math>\theta_{0}</math> ([[fazni premik]])
To je splošna enačba za [[stožnica|stožnico]] z goriščem v izhodišču; <math>e=0</math> odgovarja [[krožnica|krožnici]], <math>e<1</math> [[elipsa|elipsi]], <math>e=1</math> [[parabola|paraboli]], <math>e>1</math> pa [[hiperbola|hiperboli]]. Izsrednost <math>e</math> je povezana s skupno [[energija|energijo]] <math>E</math> (glej na primer [[Laplace-Runge-Lenzev vektor]]):
Vrstica 126:
odgovarja popolnoma krožnim tirom.
== Radialni harmonični oscilator ==
Računanje tira v potencialu radialnega harmoničnega oscilatorja je lažje z vektorskimi komponentami <math>\vec\mathbf{r} = (x, y, z)</math>. Potencialno energijo lahko zapišemo kot:
: <math> V(\vec\mathbf{r}) = \frac{1}{2} kr^{2} = \frac{1}{2} k \left( x^{2} + y^{2} + z^{2}\right) \!\, . </math>
Enačba gibanja za telo z maso <math>m</math> je dana s tremi neodvisnimi Euler-Lagrangeovimi enačbami:
: <math> \frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}} + \omega_{0}^{2} x = 0 \!\, , </math>
: <math> \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}} + \omega_{0}^{2} y = 0 \!\, , </math>
: <math> \frac{\mathrm{d}^{2}z}{\mathrm{d}t^{2}} + \omega_{0}^{2} z = 0 \!\, , </math>
kjer mora biti konstanta <math>\omega_{0}^{2} \equiv \frac{k}{m}</math> pozitivna, oziroma <math>k>0</math>, da so tiri omejini in sklenjeni. Drugače bi telo odneslo v [[neskončnost]].Rešitve tega preprostega harmoničnega oscilatorja so si podobne:
: <math> x = A_{x} \cos \left(\omega_{0} t + \phi_{x} \right) \!\, , </math>
: <math> y = A_{y} \cos \left(\omega_{0} t + \phi_{y} \right) \!\, , </math>
: <math> z = A_{z} \cos \left(\omega_{0} t + \phi_{z} \right) \!\, . </math>
Tu pozitivne konstante <math>A_{x}</math>, <math>A_{y}</math> in <math>A_{z}</math> predstavljajo [[amplituda|amplitude]] nihanj, koti <math>\phi_{x}</math>, <math>\phi_{y}</math> in <math>\phi_{z}</math> pa njihove [[faza valovanja|faze]]. Tir <math>\mathbf{r}(t) = \left[ x(t), y(y), z(t) \right]</math> je sklenjen, ker se ponovi ravno po [[perioda|periodi]]:
: <math> T \equiv \frac{2\pi}{\omega_{0}} \!\, . </math>
Sistem je tudi stabilen, ker majhna odstopanja amplitud in faz povzročajo odgovarjajoče majhne spremembe na celotnem tiru.
== Opombe in sklici ==
Vrstica 133 ⟶ 161:
* {{navedi revijo |author=[[Joseph Louis François Bertrand|Bertrand, Joseph Louis François]] |year=1873 |title= Théorème relatif au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe. |journal=C. R. Acad. Sci. |volume = 77 |pages=849-853}}
[[Kategorija:Klasična mehanika]]
| |||