Redakcija: 23:01, 15. januar 2010 uredi VolkovBot (pogovor \| prispevki) Boti 98.784 urejanj m robot Dodajanje: lt:Bertrano teorema ← Starejše urejanje		Redakcija: 01:23, 15. maj 2010 uredi razveljavi XJaM (pogovor \| prispevki) Birokrati, Administratorji 123.627 urejanj +/d so funkcije zato pokončno Novejše urejanje →
Vrstica 15: [[Enačba gibanja]] na polmeru <math>r</math> za delec z maso <math>m</math>, ki se giblje v centralnem potencialu <math>V(r)</math>, je dana z [[Euler-Lagrangeeva enačba\|Euler-Lagrangeevimi enačbami]]: : <math> m\frac{\mathrm{d}^{2}r}{dt\mathrm{d}t^{2}} - mr \omega^{2} = m\frac{\mathrm{d}^{2}r}{dt\mathrm{d}t^{2}} - \frac{\Gamma^{2}}{mr^{3}} = -\frac{dV\mathrm{d}V}{dr\mathrm{d}r} \!\, . </math> Pri tem se <math>\omega \equiv \mathrm{d} \theta / dt\mathrm{d}t\!\,</math> in [[vrtilna količina]] <math>\Gamma = mr^{2}\omega\!\,</math> [[ohranitveni zakon\|ohranjata]]. Prvi člen na levi strani je za krožne tire enak 0, sila <math> dV\mathrm{d}V / dr\mathrm{d}r\!\,</math>, ki deluje navzven, je enaka centripetalni sili <math>mr \omega^{2}\!\,</math>, kot pričakujemo. Definicija vrtilne količine omogoča ~~spremebo~~spremembo odvisne spremenljivke iz <math>t</math> v <math>\theta</math>: : <math> \frac{\mathrm{d}}{dt\mathrm{d}t} = \frac{\Gamma}{mr^{2}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} \!\, </math> kar da novo [[gibalna enačba\|gibalno enačbo]] neodvisno od časa: : <math> \frac{\Gamma}{r^{2}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} \left( \frac{L}{mr^{2}} \frac{dr\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta} \right)- \frac{\Gamma^{2}}{mr^{3}} = -\frac{dV\mathrm{d}V}{dr\mathrm{d}r} \!\, . </math> Ta enačba postane kvazilinearna pri zamenjavi spremenljivk <math>u \equiv 1 /r \!\,</math> in množenju obeh strani z <math> mr^{2} /\Gamma^{2}\!\,</math>: : <math> \frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}} + u = -\frac{m}{\Gamma^{2}} \frac{\mathrm{d}}{du\mathrm{d}u} V\left( \frac{1}{u} \right) \!\, . </math> == Bertrandov izrek == Vrstica 35: Kot je omenjeno zgoraj, lahko centralne sile za dano začetno hitrost povzročajo krožne tire. Vendar pri določeni radialni hitrosti ti tiri niso nujno stabilni ali sklenjeni. Stabilne in strogo sklenjene tire lahko povzročajo le obratne kvadratne sile in potencial harmoničnega oscilatorja (pokazana sta potreben in zadosten pogoj). V enačbo za <math>u</math> zaradi zgoščenega zapisa uvedemo funkcijo <math>J(u)\!\,</math>: : <math> \frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}} + u = J(u) \equiv -\frac{m}{\Gamma^{2}} \frac{\mathrm{d}}{du\mathrm{d}u} V(1/u) = -\frac{m}{\Gamma^{2}u^{2}} f(1/u) \!\, , </math> kjer <math>f</math> predstavlja radialno silo. Po kriteriju za popolno [[krožno gibanje]] pri polmeru <math>r_{0}</math> mora biti prvi člen na levi strani enak 0: Vrstica 51: Če vstavimo ta razvoj v enačbo za <math>u</math> in odštejemo konstantne člene, dobimo: : <math> \frac{\mathrm{d}^{2}\eta}{\mathrm{d}\theta^{2}} + \eta = \eta J^{\prime}(u_{0}) + \frac{1}{2} \eta^{2} J^{\prime\prime}(u_{0}) + \frac{1}{6} \eta^{3} J^{\prime\prime\prime}(u_{0}) \ldots \!\, , </math> kar lahko zapišemo kot: : <math> \frac{\mathrm{d}^{2}\eta}{\mathrm{d}\theta^{2}} + \beta^{2} \eta = \frac{1}{2} \eta^{2} J^{\prime\prime}(u_{0}) + \frac{1}{6} \eta^{3} J^{\prime\prime\prime}(u_{0}) \ldots \!\, , </math> kjer je <math>\beta^{2} \equiv 1 - J^{\prime}(u_{0})</math> konstanta. <math>\beta^{2}</math> mora biti [[nenegativno število\|nenegativna]], drugače se bo polmer tira spreminjal [[eksponentna funkcija\|eksponentno]] od vrednosti začetnega polmera. (Rešitev <math>\beta=0</math> odgovarja popolnoma krožnemu tiru.) Če lahko zanemarimo desno stran (npr. pri ''zelo'' malih motnjah), so rešitve: Vrstica 63: kjer je <math>h_{1}</math> [[integracijska konstanta]]. Da so tiri sklenjeni, mora biti <math>\beta</math> [[racionalno število]]. Mora biti tudi ''enako'' racionalno število za vse polmere, saj se <math>\beta</math> ne more vseskozi spreminjati; racionalna števila so med seboj popolnoma nepovezana. Ker morajo enačbe iz definicije: : <math> J^{\prime}(u_{0}) \equiv -2 + \frac{u_{0}}{f(1/u_{0})} \frac{df\mathrm{d}f}{du\mathrm{d}u} = 1 - \beta^{2} \!\, </math> veljati za poljubno vrednost <math>u_{0}</math>, lahko zapišemo: : <math> \frac{df\mathrm{d}f}{dr\mathrm{d}r} = \left( \beta^{2} - 3 \right) \frac{f}{r} \!\, , </math> od koder sledi, da mora za silo veljati [[potenčni zakon]]: Vrstica 100: Tako so edini [[potencial]]i, ki lahko povzročajo stabilne, sklenjene, nekrožne tire, obratni kvadratni zakon sile (<math>\beta = 1</math>) in radialni potencial harmoničnega oscilatorja (<math>\beta = 2</math>). Rešitev <math>\beta = 0</math> odgovarja popolnoma krožnim tirom, kar je omenjeno zgoraj; negativni rešitvi <math>\beta = \{-1, -2\}</math> pa nimata fizikalnega pomena. == Obratna kvadratna sila (Keplerjev problem) == Za obratni kvadratni zakon sile, kot sta [[gravitacija\|gravitacijski]] ali [[elektrostatika\|elekstrostatični]] potencial, lahko zapišemo potencial kot: : <math> V(\vec\mathbf{r}) = \frac{-k}{r} = -ku \!\, . </math> Tir <math>u(\theta)</math> lahko izpeljemo iz splošne enačbe: : <math> \frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}} + u = -\frac{m}{L^{2}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u} V(1/u) = \frac{km}{L^{2}} \!\, , </math> katere rešitev je konstanta <math>\frac{km}{L^{2}}</math> s preprosto [[sinusoida\|sinusoido]]: : <math> u \equiv \frac{1}{r} = \frac{km}{L^{2}} \left[ 1 + e \cos \left( \theta - \theta_{0}\right) \right] \!\, . </math> Tu sta <math>e</math> ([[izsrednost]]) in <math>\theta_{0}</math> ([[fazni premik]]) [[integracijska konstanta\|integracijski konstanti]]. To je splošna enačba za [[stožnica\|stožnico]] z goriščem v izhodišču; <math>e=0</math> odgovarja [[krožnica\|krožnici]], <math>e<1</math> [[elipsa\|elipsi]], <math>e=1</math> [[parabola\|paraboli]], <math>e>1</math> pa [[hiperbola\|hiperboli]]. Izsrednost <math>e</math> je povezana s skupno [[energija\|energijo]] <math>E</math> (glej na primer [[Laplace-Runge-Lenzev vektor]]): : <math> e = \sqrt{1 + \frac{2EL^{2}}{k^{2}m}} \!\, . </math> Primerjava teh enačb kaže, da <math>E<0</math> odgovarja elipsi, <math>E=0</math> paraboli, <math>E>0</math> pa hiperboli. Posebni primer, ko je: : <math>E=-\frac{k^{2}m}{2L^{2}}</math>, odgovarja popolnoma krožnim tirom. == Opombe in sklici == {{~~seznam referenc~~opombe}} == Viri == Vrstica 112 ⟶ 138: [[Kategorija:Klasična mehanika]] [[Kategorija:Fizikalni izreki]] [[en:Bertrand's theorem]]

Bertrandov izrek: Razlika med redakcijama