Normalna porazdelitev: Razlika med redakcijama

Izbrisana vsebina Dodana vsebina
Nusha (pogovor | prispevki)
m dopolnitev
Nusha (pogovor | prispevki)
m dopolnitev
Vrstica 49:
 
De Laplace je teorijo normalne porazdelitve uporabljal za preučevanje napak v poskusih. Za nadaljnji razvoj je bila pomembna metoda najmanjših kvadratov, ki jo je uvedel [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] leta [[1805]]. [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] pa si je nauk o normalni porazdelitvi lastil že od leta [[1794]] in ga utemeljil leta [[1809]] z razpravo o normalni porazdelitvi napak.
 
== Lastnosti ==
=== Funkcija gostote verjetnosti ===
[[Funkcija gostote verjetnosti]] za normalno porazdelitev je
: <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) </math>.
 
=== Zbirna funkcija verjetnosti ===
[[Zbirna funkcija verjetnosti]] je enaka
: <math>\frac12\Big[1 + \operatorname{erf}\Big( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\Big)\Big]</math>
kjer je
* <math> \operatorname{erf}(x)\!</math> [[funkcija napake]].
 
=== Pričakovana vrednost ===
[[Pričakovana vrednost]] je enaka
: <math> \mu \!</math>.
 
=== Varianca ===
[[Varianca]] je enaka
: <math> \sigma^2\!</math>.
 
=== Sploščenost ===
[[Sploščenost]] je
: <math> 0 \!</math>.
 
=== Koeficient simetrije ===
[[Koeficient simetrije]] je enak
: <math> 0 \!</math>.
 
=== Funkcija generiranja momentov ===
[[Funkcija generiranja momentov]] je
: <math>\exp\!\Big(\mu t + \tfrac{1}{2}\sigma^2t^2\Big)</math>
 
=== Karakteristična funkcija ===
[[Karakteristična funkcija]] je
: <math>\exp\!\Big(i\mu t - \tfrac{1}{2}\sigma^2 t^2\Big)</math>.
 
== Kumulante ==
{| class="wikitable"
|- bgcolor="#CCCCCC"
! Red </br>momenta !! [[Moment (matematika)|Moment]] !! [[Centralni moment]] !! [[Kumulanta]]
|-
| 1 || <math>\scriptstyle\mu</math> || 0 || <math>\scriptstyle\mu</math>
|-
| 2 || <math>\scriptstyle\mu^2 + \sigma^2</math> || <math>\scriptstyle\sigma^2</math> || <math>\scriptstyle\sigma^2</math>
|-
| 3 || <math>\scriptstyle\mu^3 + 3\mu\sigma^2</math> || 0 || 0
|-
| 4 || <math>\scriptstyle\mu^4 + 6 \mu^2 \sigma^2 + 3 \sigma^4</math> || <math>\scriptstyle3 \sigma^4</math> || 0
|-
| 5 || <math>\scriptstyle\mu^5 + 10 \mu^3 \sigma^2 + 15 \mu \sigma^4</math> || 0 || 0
|-
| 6 || <math>\scriptstyle\mu^6 + 15 \mu^4 \sigma^2 + 45 \mu^2 \sigma^4 + 15 \sigma^6 </math> || <math>\scriptstyle 15 \sigma^6 </math> || 0
|-
| 7 || <math>\scriptstyle\mu^7 + 21 \mu^5 \sigma^2 + 105 \mu^3 \sigma^4 + 105 \mu \sigma^6 </math> || 0 || 0
|-
| 8 || <math>\scriptstyle\mu^8 + 28 \mu^6 \sigma^2 + 210 \mu^4 \sigma^4 + 420 \mu^2 \sigma^6 + 105 \sigma^8 </math> || <math>\scriptstyle 105 \sigma^8 </math> || 0
|}
 
== Zunanje povezave ==