Redakcija: 23:04, 16. december 2009 uredi XJaM (pogovor \| prispevki) Birokrati, Administratorji 123.627 urejanj m dp ← Starejše urejanje		Redakcija: 00:32, 17. december 2009 uredi razveljavi XJaM (pogovor \| prispevki) Birokrati, Administratorji 123.627 urejanj m dp+ Novejše urejanje →
Vrstica 5: s [[celo število\|celimi]] koeficienti ''k'', ''m'' in ''n'' in z od nič različno [[diskriminanta\|diskriminanto]] <math>m^{2} - 4kn</math>. Kvadratna iracionalna števila so oblike: : <math> \sqrt{bc}, \qquad bc > 01 \!\, </math> za cela števila ''bc'' [[deljivost brez kvadrata\|deljiva brez kvadrata]]. Vsako kvadratno iracionalno število pa lahko v splošnem zapišemo kot: : <math> \frac{a\pm b\sqrt{~~b} \over~~ c}}{d}, \qquad a,b,c,d \in \mathbb{Z}; \, a,b > 0, c > 1, d \ne 0, cd \| a^{2} - bc \!\, , </math> kjer ''bc'' ni [[kvadratno število\|popolni kvadrat]]. To pomeni, da je [[moč množice\|moč]] njihove množice enaka množici urejenih trojic celih števil, in je zaradi tega [[števna množica\|števno neskončna]]. Kvadratna iracionalna števila z danim ''bc'' tvorijo [[obseg (algebra)\|obseg]], ki se imenuje [[kvadratni obseg]]. == Verižni ulomki kvadratnih iracionalnih števil == Vrstica 55: Vsi verižni ulomki kvadratnih korenov števil, ki niso popolni kvadrati, imajo posebno obliko periodičnosti, [[palindromno število\|palindrom]]ni niz števk: * [[prazna množica\|prazen]] za števila oblike <math>bc=n^{2}+1; \ n>0\!\,</math> {{OEIS\|id=A002522}}: <math>\sqrt{2}\!\,</math>, <math>\sqrt{5}\!\,</math>, <math>\sqrt{10}\!\,</math>, <math>\sqrt{17}\!\,</math>, <math>\sqrt{26}\!\,</math>, <math>\sqrt{37}\!\, </math>, <math>\sqrt{50}\!\, </math>, <math>\sqrt{65}\!\,</math>, ..., od katerih so [[praštevilo\|praštevila]] {{OEIS\|id=A002496}}: <math>\sqrt{2}\!\,</math>, <math>\sqrt{5}\!\,</math>, <math>\sqrt{17}\!\,</math>, <math>\sqrt{37}\!\,</math>, <math>\sqrt{101}\!\,</math>, <math>\sqrt{197}\!\,</math>, <math>\sqrt{257}\!\,</math>, ... in [[sestavljeno število\|sestavljena]] {{OEIS\|id=A134406}}: <math>\sqrt{10}\!\,</math>, <math>\sqrt{26}\!\,</math>, <math>\sqrt{50}\!\,</math>, <math>\sqrt{65}\!\,</math>, <math>\sqrt{82}\!\,</math>, <math>\sqrt{122}\!\,</math>, <math>\sqrt{145}\!\,</math>, <math>\sqrt{170}\!\,</math>, ... : Za ta števila tako velja: :: <math> \sqrt{bc} = [a_{0};\overline{2a_{0}}] \! \, . </math> * na primer 1 za <math>\sqrt{3}\!\,</math>, 1,1,1 za <math>\sqrt{7}\!\,</math>, 1,2,1 za <math>\sqrt{14}\!\,</math>, ki mu sledi dvakratnik vodilnega celega števila. Praštevila, ki niso oblike <math>n^{2}+1\!\,</math>, imajo neprazen niz {{OEIS\|id=A070303}}: Vrstica 64: V splošnem tako velja: : <math> \sqrt{bc} = [a_{0};\overline{a_{1},a_{2},\dots,a_{2},a_{1},2a_{0}}] \! \, . </math> Od zgornjih števil, katerih niz je prazen, so deljiva s kvadratom {{OEIS\|id=A124809}}: Vrstica 98: === Dvočlene oblike === Druga kvadratna iracionalna števila, kjer ''bc'' ni kvadratno število: : <math> (1+\sqrt{2})/2 = 1,2071 \ldots = [1;4,1,\ldots] \!\, , </math> Vrstica 136: : <math> (4242+\sqrt{4242})/4242 = 1,0153 \ldots = [1;65,\overline{7,1,1,1,8,1,1,1,7,130}] \!\, ... </math> Če je ''bc'' kvadratno število in <math>cd>1</math>, je dano število [[racionalno število\|racionalno]], njegov verižni ulomek pa je seveda končen. Na primer: : <math> (2+\sqrt{4})/5 = 4/5 = 0,8 = [0;1,4] \!\, , </math> Vrstica 143: To dejstvo periodičnosti členov verižnih ulomkov sta dokazala [[Joseph-Louis de Lagrange\|Lagrange]] ([[1770]]) in [[Adrien-Marie Legendre\|Legendre]], pred njima pa je obrat dokazal [[Leonhard Euler\|Euler]] z analizo popolnih količnikov periodičnih verižnih ulomkov - če je ζ pravi periodični verižni ulomek, je ζ kvadratno iracionalno število. Iz samega verižnega ulomka je moč konstruirati kvadratno enačbo s celimi koeficienti, za katere velja ζ. === Splošne oblike === : <math> (1+2\sqrt{2})/2 = 1,9142 \ldots = [\overline{1;1,10,1}] \!\, , </math> : <math> (1+2\sqrt{3})/2 = 2,2320 \ldots = [2;\overline{4,3}] \!\, , </math> : <math> (1+2\sqrt{2})/3 = 1,2761 \ldots = [\overline{1;3,1,1,1,1}] \!\, , </math> : <math> (1+2\sqrt{3})/3 = 1,4880 \ldots = [\overline{1;2,20,2,1,1,4,1}] \!\, , </math> : <math> (1+3\sqrt{2})/2 = 2,6213 \ldots = [2;\overline{1,1,1,1,1,3}] \!\, , </math> : <math> (1+3\sqrt{3})/2 = 3,0980 \ldots = [3;\overline{10,5}] \!\, , </math> : <math> (1+3\sqrt{2})/3 = 1,7475 \ldots = [1;\overline{1,2,1,24,1,2,1,2,12,2}] \!\, , </math> : <math> (1+3\sqrt{3})/3 = 2,0653 \ldots = [2;\overline{15,3,2,1,1,30,1,1,2,3}] \!\, , </math> : <math> (1+2\sqrt{3})/4 = 1,1160 \ldots = [\overline{1;8,1,1,1,1,1,1}] \!\, , </math> : <math> (2+3\sqrt{5})/7 = 1,2440 \ldots = [\overline{1;4,10,4,1,1,2,18,2,1}] \!\, ... </math> === Druge oblike ===

Kvadratno iracionalno število: Razlika med redakcijama