Močno število: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m dp|iw |
m + |
||
Vrstica 23:
: 1, 16, 64, 81, 256, 512, 625, 729, 1024, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, ...
== Vsote ==
[[vsota(matematika)|Vsota]] [[obratna vrednost|obratnih vrednosti]] močnih števil (vključno z različnimi faktorizacijami) je enaka 1:
:<math> \sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^{k}}=1 \!\, , </math>
kar lahko [[matematični dokaz|dokažemo]] kot sledi:
: <math>\sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^k}
=\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m^2} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{m^k}
=\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m^2} \left( \frac{m}{m-1} \right)
=\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m(m-1)}
=\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m-1} - \frac {1}{m} = 1 \, .</math>
Po [[Leonhard Euler|Euler]]ju je [[Christian Goldbach|Goldbach]] dokazal, ne sicer v duhu sodobne strogosti, v sedaj izgubljenem pismu njemu, da je vsota 1/(''p''−1) v množici močnih števil ''p'', brez 1 in različnih faktorizacij, enaka 1:
:<math>\sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^{k}-1} \equiv \sum_{p}\frac{1}{p-1}= {\frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}+ \frac{1}{15} + \frac{1}{24} + \frac{1}{26}+ \frac{1}{31}}+ \cdots = 1.</math>
To dejstvo se včasih imenuje [[Goldbach-Eulerjev izrek]].
[[Kategorija:Števila]]
| |||