Kurt Gödel: Razlika med redakcijama

Skupaj s [[Paul Cohen|Paulom Cohenom]] je ugotovil, da [[aksiom]]i standardne [[teorija množic|teorije množic]] ne omogočajo spoznanja ali je [[moč množice]] [[realno število|realnih števil]] enaka moči [[kontinuum]]a. Leta [[1931]] je postavil dva znana Gödlova izreka o nepopolnosti. Tedaj je kot 25 leten objavil v matematični reviji ''[[Monatshefte für Mathematik und Physik]]'' (vol. 38, 1931) članek ''O formalno neodločljivih stavkih Matematičnih načel in sorodnih sistemov'' (''Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme''). Prvi izrek pravi, da množica resničnih izjav neprotislovne logične teorije, ki vsebuje formalno aritmetiko, ni [[rekurzija|rekurzivno]] [[števnost|preštevna]]. Vsak neprotisloven sistem je nepopoln (oziroma, v vsakem neprotislovnem sistemu obstaja vsaj en resničen stavek, ki v tem sistemu ni dokazljiv). Drugi izrek trdi, da ni mogoče dokazati neprotislovnosti logične teorije, ki vsebuje formalno aritmetiko, znotraj nje same. Drugi izrek je Gödel dokazal za ''Aritmetiko'', namreč da neprotislovnosti ''Aritmetike'' ne moremo dokazati drugače, kot da privzamemo neprotislovnost drugih višjih sistemov. Prvi izrek je dokazal najprej za Whitehead-Russlov sistem, opisan v njunem velikem delu ''Matematična načela'', kasneje pa še splošno za poljubne neprotislovne sisteme. Nizu simbolov v [[Peanovi izreki|Peanovem logičnem sistemu aksiomov]], ki vsebuje aksiomatizacijo pojma [[naravno število|naravnega števila]], je pri dokazu 1. izreka povratno enolično priredil naravna števila, kar imenujemo Gödlovo oštevilčenje. Po njem se tako imenuje [[injektivna preslikava|injektivna]] [[preslikava]] enačb, simbolov in končnih [[zaporedje|zaporedij]] enačb na [[podmnožica|podmnožico]] naravnih števil. S tem je dobil predstavitev sistema samega v sebi. Tako je nato z združitvijo znamenitega Cantorjevega diagonalnega postopka (sklepa) iz leta [[1890]], ki ga srečamo pri dokazu, da je realnih števil več kot naravnih in [[racionalno število|racionalnih]], in [[paradoks lažnivca|paradoksa lažnivca]], ki so ga poznali že Grki, pokazal, da v takšnem logičnem sistemu obstaja resnična [[izjava]], ki ni [[izrek]], izpeljiva iz aksiomov, ali pa je sistem [[protislovje|protisloven]]. Ničesar ne pridobimo niti, če to izjavo dodamo aksiomom sistema. Tudi za tako razširjeni sistem velja 1. Gödlov izrek. Drugače povedano, vse matematike ne moremo zaobjeti z nobenim končnim sistemom aksiomov. V vsakem takem sistemu bodo ostali izrazljivi [[paradoks]]i, podobni paradoksu lažnivca ali [[Russllov paradoks|Russllovem paradoksu]], ki ga je uporabil pri dokazovanju protislovnosti [[Friedrich Ludwig Gottlob Frege|Frege]]jevega logičnega sistema matematične gotovosti. Tako je Gödel naredil konec iskanju matematične gotovosti s tem, da je pokazal, da ne obstaja, in tudi ne more obstajati. V [[fizika|fiziki]] je podobno razmišljal leta [[1926]] [[Werner Karl Heisenberg|Heisenberg]] z [[načelo nedoločenosti|načelom fizikalne nedoločenosti]].

 

 

Z njim se je na inštitutu v Princetonu največ pogovarjal Einstein. Gödel ga je pogosto spremljal na poti domov. Einstein ga je močno cenil kot [[znanstvenik]]a. Rad je razpravljal z njim o osnovnih matematičnih vprašanjih, pa tudi o [[filozofija|filozofskih]] in [[politika|političnih]] problemih. Zelo ga je zanimalo [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]]evo delo. Prišel je do zaključka da so nekatera njegova dela v zaroti zatrli.