Bertrandov izrek: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m dp |
+ |
||
Vrstica 7:
: <math> V(\vec\mathbf{r}) = \frac{k r^{2}}{2} \!\, . </math>
Izrek se imenuje po [[Joseph Louis François Bertrand|Josephu Louisu Françoisu Bertrandu]].<ref name="bertrand_1873">Bertrand (1873).</ref>
== Splošna priprava ==
Vse privlačne centralne sile lahko povzročajo [[krog|krožne]] tire, ki so seveda sklenjene. Edina zahteva je da je centralna natančno enaka [[centripetalna sila|centripetalni sili]], ki določa ustrezno [[kotna hitrost|kotno hitrost]] za dani krožni polmer. Necentralne sile - tiste, ki so odvisne od kotnih spremenljivk, in tudi od polmera - se tukaj ne upoštevajo, ker v splošnem ne povzročajo krožnih tirov.
[[Enačba gibanja]] na polmeru <math>r</math> za delec z maso <math>m</math>, ki se giblje v centralnem potencialu <math>V(r)</math> je dana z [[Euler-Lagrangeeva enačba|Euler-Lagrangeevimi enačbami]]:
: <math> m\frac{d^{2}r}{dt^{2}} - mr \omega^{2} = m\frac{d^{2}r}{dt^{2}} - \frac{L^{2}}{mr^{3}} = -\frac{dV}{dr} \!\, . </math>
Pri tem se <math>\omega \equiv d \theta / dt\!\,</math> in [[vrtilna količina]] <math>L = mr^{2}\omega\!\,</math> [[ohranitveni zakoni|ohranjata]]. Prvi člen na levi strani je za krožne tire enak 0, sila <math> dV / dr\!\,</math>, ki deluje navzven, je enaka centripetalni sili <math>mr \omega^{2}\!\,</math>, kot pričakujemo.
Definicija vrtilne količine omogoča spremebo odvisne spremenljivke iz <math>t</math> v <math>\theta</math>:
: <math> \frac{d}{dt} = \frac{L}{mr^{2}} \frac{d}{d\theta} \!\, </math>
kar da novo [[gibalna enačba|gibalno enačbo]] neodvisno od časa:
: <math> \frac{L}{r^{2}} \frac{d}{d\theta} \left( \frac{L}{mr^{2}} \frac{dr}{d\theta} \right)- \frac{L^{2}}{mr^{3}} = -\frac{dV}{dr} \!\, . </math>
Ta enačba postane kvazilinearna pri zamenjavi spremenljivk <math>u \equiv 1 /r \!\,</math> in množenju obeh strani z <math> mr^{2} /L^{2}\!\,</math>:
: <math> \frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u = -\frac{m}{L^{2}} \frac{d}{du} V\left( \frac{1}{u} \right) \!\, . </math>
== Bertrandov izrek ==
Kot je omenjeno zgoraj centralne sile lahko za dano začetno hitrost povzročajo krožne tire. Vendar pri določeni radialni hitrosti ti tiri niso nujno stabilni ali sklenjeni. Stabilne in strogo sklenjene tire lahko povzročajo le obratne kvadratne sile in potencial harmoničnega oscilatorja (pokazana sta potreben in zadosten pogoj).
V enačbo za <math>u</math> zaradi zgoščenega zapisa uvedemo funkcijo <math>J(u)</math>:
: <math> \frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u = J(u) \equiv -\frac{m}{L^{2}} \frac{d}{du} V(1/u) = -\frac{m}{L^{2}u^{2}} f(1/u) \!\, , </math>
kjer <math>f</math> predstavlja radialno silo. Po kriteriju za popolno [[krožno gibanje]] pri polmeru <math>r_{0}</math> mora prvi člen na levi strani biti enak 0:
: <math> u_{0} = J(u_{0}) \!\, , </math>
kjer je <math>u_{0} \equiv 1/r_{0}</math>.
V naslednjem koraku obravnavamo enačbo za <math>u</math> pri [[teorija motenj|majhnih motnjah]] <math>\eta \equiv u - u_{0}</math> iz popolnoma krožnih tirov. Na desni strani lahko funkcijo <math>J</math> razvijemo v standardno [[Taylorjeva vrsta|Taylorjevo vrsto]]:
: <math> J(u) \approx u_{0} + \eta J^{\prime}(u_{0}) + \frac{1}{2} \eta^{2} J^{\prime\prime}(u_{0}) + \frac{1}{6} \eta^{3} J^{\prime\prime\prime}(u_{0}) + \ldots \!\, . </math>
Če vstavimo ta razvoj v enačbo za <math>u</math> in odštejemo konstantne člene, dobimo:
: <math> \frac{d^{2}\eta}{d\theta^{2}} + \eta = \eta J^{\prime}(u_{0}) + \frac{1}{2} \eta^{2} J^{\prime\prime}(u_{0}) + \frac{1}{6} \eta^{3} J^{\prime\prime\prime}(u_{0}) \ldots \!\, , </math>
kar lahko zapišemo kot:
: <math> \frac{d^{2}\eta}{d\theta^{2}} + \beta^{2} \eta = \frac{1}{2} \eta^{2} J^{\prime\prime}(u_{0}) + \frac{1}{6} \eta^{3} J^{\prime\prime\prime}(u_{0}) \ldots \!\, , </math>
kjer je <math>\beta^{2} \equiv 1 - J^{\prime}(u_{0})</math> konstanta. <math>\beta^{2}</math> mora bit [[nenegativno število|nenegativna]], drugače se bo polmer tira spreminjal [[eksponentna funkcija|eksponentno]] od vrednosti začetnega polmera. (Rešitev <math>\beta=0</math> odgovarja popolnoma krožnemu tiru.) Če lahko zanemarimo desno stran (npr. pri ''zelo'' malih motnjah), so rešitve:
: <math> \eta(\theta) = h_{1} \cos \beta\theta \!\, , </math>
kjer je <math>h_{1}</math> [[integracijska konstanta]]. Da so tiri sklenjeni, mora biti <math>\beta</math> [[racionalno število]]. Mora bit tudi ''enako'' racionalno število za vse polmere, saj se <math>\beta</math> ne more vseskozi spreminjati; racionalna števila so med seboj popolnoma nepovezana. Ker morajo enačbe iz definicije:
: <math> J^{\prime}(u_{0}) \equiv -2 + \frac{u_{0}}{f(1/u_{0})} \frac{df}{du} = 1 - \beta^{2} \!\, </math>
veljati za poljubno vrednost <math>u_{0}</math>, lahko zapišemo:
: <math> \frac{df}{dr} = \left( \beta^{2} - 3 \right) \frac{f}{r} \!\, , </math>
od koder sledi, da mora za silo veljati [[potenčni zakon]]:
: <math> f(r) = - \frac{k}{r^{3-\beta^{2}}} \!\, . </math>
Zaradi tega mora <math>J</math> imeti splošno obliko:
: <math> J(u) = \frac{mk}{L^{2}} u^{1-\beta^{2}} \!\, . </math>
Za bolj splošne razlike od krožnosti, (če npr. v razvoju <math>J</math> v Taylorjevo vrsto ne moremo zanemariti člene višjih redov), lahko <math>\eta</math> razvijemo v [[Fourierjeva vrsta|Fourierjevo vrsto]], na primer:
: <math> \eta(\theta) = h_{0} + h_{1} \cos \beta \theta + h_{2} \cos 2\beta \theta + h_{3} \cos 3\beta \theta + \ldots \!\, . </math>
Če to rešitev vstavimo v obe strani enačbe za <math>\eta</math> in izenačimo koeficiente, ki pripadajo isti frekvenci, dobimo sistem enačb:
: <math> h_{0} = h_{1}^{2} \frac{J^{\prime\prime}(u_{0})}{4\beta^{2}} \!\, , </math>
: <math> h_{2} = -h_{1}^{2} \frac{J^{\prime\prime}(u_{0})}{12\beta^{2}} \!\, , </math>
: <math> h_{3} = -\frac{1}{8\beta^{3}} \left[ h_{1}h_{2} \frac{J^{\prime\prime}(u_{0})}{2} +
h_{1}^{3} \frac{J^{\prime\prime\prime}(u_{0})}{24} \right] \!\, , </math>
in, kar je najpomembnejše:
: <math> \left( 2 h_{1} h_{0} + h_{1} h_{2} \right) \frac{J^{\prime\prime}(u_{0})}{2} +
h_{1}^{3} \frac{J^{\prime\prime\prime}(u_{0})}{8} = 0 \!\, . </math>
Zadnja enačba skupaj z enačbo za <math>J</math>, izražena z <math>\beta</math>, vodi do glavnega rezultata Bertrandovega izreka:
: <math> \beta^{2} \left( 1 - \beta^{2} \right) \left( 4 - \beta^{2} \right) = 0 \!\, . </math>
Tako so edini [[potencial]]i, ki lahko povzročajo stabilne, sklenjene, nekrožne tire, obratni kvadratni zakon sile (<math>\beta = 1</math>) in radialni potencial harmoničnega oscilatorja (<math>\beta = 2</math>). Rešitev <math>\beta = 0</math> odgovarja popolnoma krožnim tirom, kar je omenjeno zgoraj; negativni rešitvi <math>\beta = \{-1, -2\}</math> pa nimata fizikalnega pomena.
== Opombe in sklici ==
| |||