Enotski vektor: Razlika med redakcijama

dodanih 75 zlogov ,  pred 11 leti
m
dp/vektorji s puščico
m
m (dp/vektorji s puščico)
'''Enôtski véktor''' (ali '''véktorska enôta'''<ref name="bronštejn">{{navedi knjigo |first=Ilja Nikolajevič |last=Bronštejn |authorlink=Ilja Nikolajevič Bronštejn |coauthors=[[Konstantin Adolfovič Semendjajev|Semendjajev, Konstantin Adolfovič]] |title=[[Matematični priročnik (Bronštejn, Semendjajev)|Matematični priročnik]] |edition=5. ponatis |year=1978 |publisher=Tehniška založba Slovenije |location=Ljubljana |pages=605 |cobiss=205107}}</ref>) v [[normiran vektorski prostor|normiranem vektorskem prostoru]] je v [[matematika|matematiki]] [[vektor (matematika)|vektor]] (po navadi [[evklidski vektor]]) z [[norma vektorja|dolžino]] (modulom<ref name="bronštejn" />) [[1 (število)|1]] ([[enota|enoto]] [[dolžina|dolžine]]):
 
: <math> \mathbf{e} \equiv \vec\mathbf{e} \equiv \|\mathbf{\hat{e}}\| \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ 1 \!\, . </math>
 
Enotski vektor se velikokrat označuje z malo črko s [[cirkumfleks|strešico]], na primer kot <math>\mathbf{\hat{e}}</math>, in se izgovori »e strešica«.
 
Velikost [[skalarno množenje|produkta]] enotskega vektorja s [[skalar]]jem ''c'' je vedno [[pozitivno število|pozitivna]] (oziroma [[nenegativno število|nenegativna]]) in je enaka:
: <math> \| 0 \, \mathbf\hat{e} \| = 0 \!\, . </math>
 
V [[evklidski prostor|evklidskem prostoru]] je [[skalarni produkt]] dveh enotskih vektorjev <math>\mathbf{\hat{e}_{1}}</math> in <math>\mathbf{\hat{e}_{2}}</math> kar [[kosinus]] kota med njima. To sledi iz enačbe za skalarni produkt, saj sta njuni dolžini enaki 1:
 
: <math> \mathbf{\hat{e}_{1}} \cdot \mathbf{\hat{e}_{2}} = \|\mathbf{\hat{e}_{1}}\| \|\mathbf{\hat{e}_{2}}\| \cos\varphi = \cos\varphi; \quad (\|\mathbf{\hat{e}_{1}}\| = \|\mathbf{\hat{e}_{2}}\| = 1) \!\, . </math>
 
Posebej je skalarni produkt enotskega vektorja s samim seboj:
 
: <math> \mathbf{\hat{e}} \cdot \mathbf{\hat{e}} = \|\mathbf{\hat{e}}\| \|\mathbf{\hat{e}}\| \cos\varphi = 1; \quad (\varphi = 0^{\circ}) \!\, , </math>
 
dveh pravokotnih enotskih vektorjev:
 
: <math> \mathbf{\hat{e}_{1}} \cdot \mathbf{\hat{e}_{2}} = \|\mathbf{\hat{e}_{1}}\| \|\mathbf{\hat{e}_{2}}\| \cos\varphi = 0; \quad (\mathbf{\hat{e}_{1}} \perp \mathbf{\hat{e}_{2}} \wedge \varphi = 90^{\circ}) \!\, , </math>
 
ali [[ničelni vektor|ničelnega]] in enotskega vektorja:
 
: <math> \vec\mathbf{0} \cdot \mathbf{\hat{e}} = \|\vec\mathbf{0}\| \|\mathbf{\hat{e}}\| \cos\varphi = 0 \!\, . </math>
 
Pri tem tudi kot <math>\varphi</math> ni določen, saj ničelni vektor nima smeri.
Vsak neničelni vektor <math>\vec\mathbf{u}</math> lahko zapišemo kot skalarni produkt njegove norme (dolžine) in enotskega vektorja z enako smerjo in smislom:
 
: <math> \vec\mathbf{u} = \|\vec\mathbf{u}\| \cdot \mathbf{\hat{e}} \!\, , </math>
 
tako da je '''normalizíran véktor''' (''verzor'' ali '''enôtski véktor sméri véktorja'''<ref name="bronštejn" />) <math>\mathbf{\hat{u}}</math> neničelnega vektorja <math>\vec\mathbf{u}</math> enotski vektor z enako smerjo in smislom kot <math>\vec\mathbf{u}</math>:
 
: <math> \vec\mathbf{u}^{0} \equiv \vec\mathbf{u}_{0} \equiv \mathbf{\hat{u}} = \frac{1}{\|\vec\mathbf{u}\|} \cdot \vec\mathbf{u} = \frac{\vec\mathbf{u}}{\|\vec\mathbf{u}\|} = \frac{\vec\mathbf{u}}{u} ; \qquad \|\vec\mathbf{u}\| \ne 0 \!\, \vee \vec\mathbf{u} \ne \vec\mathbf{0}, </math>
 
kjer je <math>\|\vec\mathbf{u}\|</math> norma (ali dolžina) vektorja <math>\vec\mathbf{u}</math>, <math>\vec\mathbf{0}</math> pa ničelni vektor. Izraz normaliziran vektor se včasih rabi kot sopomenka za enotski vektor.
 
Za enotske vektorje se običajno izberejo elementi [[baza (linearna algebra)|baze]]. Vsak vektor v prostoru lahko zapišemo kot [[linearna kombinacija|linearno kombinacijo]] enotskih vektorjev. Kot baze največkrat srečamo [[kartezični koordinatni sistem|kartezične]], [[polarni koordinatni sistem|polarne]], valjne ([[cilindrični kkordinatni sistem|cilindrične]]) in krogelne ([[sferni koordinatni sistem|sferne]]) koordinate. Vsaka od njih uporablja različne enotske vektorje glede na [[simetrija|simetrijo]] [[koordinatni sistem|koordinatnega sistema]].
== Kartezične koordinate ==
 
V [[razsežnost|trirazsežnem]] [[kartezični koordinatni sistem|kartezičnem koordinatnem sistemu]] se včasih enotski vektorji, katerih smer je enaka z osmi ''<math>x''</math>, ''<math>y''</math> in ''<math>z''</math>, oziroma, ki ležijo na oseh, imenujejo vektorji koordinatnega sistema. Njihove koordinate, zapisane v stolpcih, so:
 
: <math> \mathbf{\hat{i}} = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \,\, \mathbf{\hat{j}} = \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \,\, \mathbf{\hat{k}} = \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix} \,\, . </math>
 
Običajno jih označujemo z normalnim vektorskim zapisom (kot <math>\mathbf{i}</math>, <math>\vec\mathbf{i}</math> ali <math>\vec{i}</math>) in ne s strešicami. Večinoma je privzeto da so <math>\vec\mathbf{i}</math>, <math>\vec\mathbf{j}</math> in <math>\vec\mathbf{k}</math> (ali <math>\vec{i}, \vec{j}</math> in <math> \vec{k}</math>) vektorji kartezičnega koordinatnega sistema. Odtod trojica recipročnih ortogonalnih enotskih vektorjev. Zapisi <math>(\mathbf\hat{x}, \mathbf\hat{y}, \mathbf\hat{z})</math>, <math>(\mathbf\hat{x}_{1}, \mathbf\hat{x}_{2}, \mathbf\hat{x}_{3})</math>, <math>(\mathbf\hat{e}_{x}, \mathbf\hat{e}_{y}, \mathbf\hat{e}_{z})</math> ali <math>(\mathbf\hat{e}_{1}, \mathbf\hat{e}_{2}, \mathbf\hat{e}_{3})</math> z ali brez strešice se tudi uporablja, še posebej kadar označbe <math>\mathbf{i}</math>, <math>\mathbf{j}</math>, <math>\mathbf{k}</math> lahko vodijo do zamenjave z označbami drugih količin (na primer s simboli za [[indeks (matematika)|indekse]] ''<math>i'', ''j'', ''k''</math>, ki označujejo elemente množice, polja ali zaporedja spremenljivk. Ti vektorji predstavljajo zgled [[standardna baza|standardne baze]].
 
Ko je enotski vektor v prostoru izražen s kartezičnim zapisom kot linearna kombinacija vektorjev <math>\vec\mathbf{i}</math>, <math>\vec\mathbf{j}</math> in <math>\vec\mathbf{k}</math>, so tri njegove skalarne komponente »[[smerni kosinus]]i«. Vrednost vsake komponente je enaka kosinusu kota, ki ga tvori enotski vektor s pripadajočim baznim vektorjem. Na ta način lahko opišemo [[usmerjenost (matematika)|usmerjenost]] (kotno lego) premice, daljico, usmerjeno os ali segment usmerjene osi.
 
== Valjne koordinate ==
 
Enotski vektorji, primerni za valjno ([[cilindrični koordinatni sistem|cilindrično]]) simetrijo, so:
* <math>\mathbf{\hat{s}}</math> (označbi tudi <math>\mathbf{\hat{r}}</math> ali <math>\boldsymbol{\hat \rho}</math>), razdalja od osi simetrije,
* <math>\boldsymbol{\hat \phi}</math>, kot, merjen v smeri nasprotni urinim kazalcem od pozitivne osi ''<math>x''</math>, in
* <math>\mathbf{\hat{z}}</math>.
S kartezično bazo <math>\mathbf\hat{x}, \mathbf\hat{y}, \mathbf\hat{z}</math> so povezane z:
 
: <math> \mathbf{\hat{s}} = \cos \phi\mathbf{\hat{x}} + \sin \phi\mathbf{\hat{y}} \!\, , </math>
 
: <math> \boldsymbol{\hat \phi} = -\sin \phi\mathbf{\hat{x}} + \cos \phi\mathbf{\hat{y}} \!\, , </math>
 
: <math> \mathbf{\hat{z}}=\mathbf{\hat{z}} \!\, . </math>
 
Treba je omeniti da sta <math>\mathbf{\hat{s}}</math> in <math>\boldsymbol{\hat \phi}</math> funkciji <math>\phi\!\,</math> in po smeri nista konstantni. Pri odvajanju ali integriranju v valjnih koordinatah ju je treba prav tako vzeti v obzir. Za popolnejši opis glej [[Jacobijeva matrika]]. Odvodi po <math>\phi\,\,</math> so, od tega dva neničelna:
 
: <math> \frac{\partial \mathbf{\hat{s}}} {\partial \phi} = -\sin \phi\mathbf{\hat{x}} + \cos \phi\mathbf{\hat{y}} = \boldsymbol{\hat \phi} \!\, , </math>
 
: <math> \frac{\partial \boldsymbol{\hat \phi}} {\partial \phi} = -\cos \phi\mathbf{\hat{x}} - \sin \phi\mathbf{\hat{y}} = -\mathbf{\hat{s}} \!\, , </math>
 
: <math> \frac{\partial \mathbf{\hat{z}}} {\partial \phi} = \vec\mathbf{0} \!\, . </math>
 
== Krogelne koordinate ==
Da je degeneracija čim manjša, je polarni kot običajno <math>0\leq\theta\leq 180^\circ</math>. Posebej je pomembno poudariti v kakšnem smislu se rabi poljubna urejena trojica v krogelnih koordinatah, saj sta vlogi <math>\boldsymbol{\hat \phi}</math> in <math>\boldsymbol{\hat \theta}</math> velikokrat zamenjani. Tukaj se rabi ameriški dogovor o poimenovanju. Tako je azimutni kot <math>\phi\!\,</math> enak kot v valjnih koordinatah. Povezave s kartezično bazo so:
 
: <math> \mathbf{\hat{r}} = \sin \theta \cos \phi\mathbf{\hat{x}} + \sin \theta \sin \phi\mathbf{\hat{y}} + \cos \theta\mathbf{\hat{z}} \!\, , </math>
 
: <math> \boldsymbol{\hat \theta} = \cos \theta \cos \phi\mathbf{\hat{x}} + \cos \theta \sin \phi\mathbf{\hat{y}} - \sin \theta\mathbf{\hat{z}} \!\, , </math>
 
: <math> \boldsymbol{\hat \phi} = - \sin \phi\mathbf{\hat{x}} + \cos \phi\mathbf{\hat{y}} \!\, . </math>
 
Krogelni enotski vektorji so odvisni tako od <math>\phi\!\,</math> kot od <math>\theta\!\,</math>, tako da obstaja 6 možnih odvodov, od tega 5 neničelnih:
 
: <math> \frac{\partial \mathbf{\hat{r}}} {\partial \phi} = -\sin \theta \sin \phi\mathbf{\hat{x}} + \sin \theta \cos \phi\mathbf{\hat{y}} = \sin \theta\boldsymbol{\hat \phi} \!\, , </math>
 
: <math> \frac{\partial \mathbf{\hat{r}}} {\partial \theta} =\cos \theta \cos \phi\mathbf{\hat{x}} + \cos \theta \sin \phi\mathbf{\hat{y}} - \sin \theta\mathbf{\hat{z}}= \boldsymbol{\hat \theta} \!\, , </math>
 
: <math> \frac{\partial \boldsymbol{\hat{\theta}}} {\partial \phi} =-\cos \theta \sin \phi\mathbf{\hat{x}} + \cos \theta \cos \phi\mathbf{\hat{y}} = \cos \theta\boldsymbol{\hat \phi} \!\, , </math>
 
: <math> \frac{\partial \boldsymbol{\hat{\theta}}} {\partial \theta} = -\sin \theta \cos \phi\mathbf{\hat{x}} - \sin \theta \sin \phi\mathbf{\hat{y}} - \cos \theta\mathbf{\hat{z}} = -\mathbf{\hat{r}} \!\, , </math>
 
:<math> \frac{\partial \boldsymbol{\hat{\phi}}} {\partial \phi} = -\cos \phi\mathbf{\hat{x}} - \sin \phi\mathbf{\hat{y}} = -\cos \theta\boldsymbol{\hat{\theta}} - \sin \theta\mathbf{\hat{r}} \!\, , </math>
 
:<math> \frac{\partial \boldsymbol{\hat{\phi}}} {\partial \theta} = \vec\mathbf{0} \!\, . </math>
 
== Krivočrtne koordinate ==
 
V splošnem lahko opišemo koordinatni sistem s pomočno [[linearna neodvisnost|linearno neodvisnih]] enotskih vektorjev <math>\mathbf\hat{e}_{n}</math>, ki so enaki [[prostostna stopnja|prostostni stopnji]] prostora. Za običajni trirazsežni prostor jih lahko označimo kot <math>\mathbf{\hat{e}_{1}}, \mathbf{\hat{e}_{2}}, \mathbf{\hat{e}_{3}}</math>. Skoraj vedno je priporočljivo da je sistem po definiciji [[ortonormalnost|ortonormalen]] in [[pravilo desne roke|desnosučen]]:
 
: <math> \mathbf{\hat{e}_{i}} \cdot \mathbf{\hat{e}_{j}} = \delta_{ij} \!\, , </math>
 
: <math> \mathbf{\hat{e}_{1}} \cdot (\mathbf{\hat{e}_{2}} \times \mathbf{\hat{e}_{3}}) = 1 \!\, , </math>
\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \!\, , </math>
 
pri čemer je <math>\delta_{ij}</math> [[Kroneckerjev delta|Kroneckerjev simbol delta]].