|
Najel ga je [[Guillaume de l'Hôpital|l'Hôpital]] da ga je učil matematike. Bornoulli in l'Hôpital sta podpisala dogovor, po katerem je lahko l'Hôpital koristil Bernoullijeva odkritja po mili volji. L'Hôpital je leta [[1696]] izdal prvo knjigo iz [[matematična analiza|analize]], kjer je večino odkril in razdelal že Bernoulli, kamor spada tudi reševanje [[limita funkcije|limit funkcije]] [[nedoločeni izraz|nedoločenih izrazov]] kot sta 0/0 in <math>\infty /\infty</math>, in kar je danes znano kot [[l'Hôpitalovo pravilo]].
Leta [[1691]] je Bernoulli študiral [[eksponentna funkcija|eksponentno funkcijo]] in uvedel študij [[trigonometrična funkcija|trigonometričnih funkcij]] v analizo. Brata sta v neprestanih sporih in matematičnih dvobojih postavljala začetke novega poglavja matematike, [[variacijski račun|variacijskega računa]]. Že [[Galileo Galilei|Galilei]] je ugotovil, da potrebuje drobno [[telo (fizika)|telo]] za [[pot]] iz [[točka|točke]] v nižjo točko v navpični ravnini krajši [[čas]], če se giblje po [[krožnica|krožnici]] kot po [[premica|ravni črti]]. Mislil je, da je glede tega krožnica sploh najugodnejša [[matematična krivulja|krivulja]]. S svojo zmoto je usmeril pozornost k najugodnejši krivulji, ki so jo poimenovali ''[[brahistrokrona]]'' (''brahistohrona''), to je krivulja z lastnostjo, da pade po njej telo iz prve točke v drugo nižjo točko v najkrajšem času. Med letoma [[1696]] in [[1697]] so o njej razpravljali [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] in brata Bernoulli. PostavimoBernoulli izhodiščeje koordinatnegaprispeval sistemak z[[Brahistrokrona#Brahistokrona_je_cikloida|rešitvi vodoravnonaloge]] osjoza ''x''ta primer in navpičnovelja osjoza ''y''začetnika vvariacijskega začetnoračuna. legoSplošno drobneganalogo za brahistokrono je rešil leta [[1774]] telesaEuler. PoCikloida je na primer tudi tavtokrona krivulja, to je krivulja, po kateri niha [[Christiaantočkasto Huygenstelo|Huygensovimasna točka]] enačbi ali pokroglica z [[izreknihajni očas|nihajnim kinetičničasom]], inki potencialnini energijiodvisen od [[amplituda|izrekuamplitude]] onjenega kinetični[[nihanje|nihanja]], inkatero potencialnije energijileta [[1673]] je:raziskal Huygens.
: <math> {1\over 2} mv^2 - m g y = 0 \!\, . </math>
Za čas, ki ga potrebuje telo iz začetne do končne točke, dobimo:
: <math> t = \int {ds \over v} = \int_{(1)}^{(2)} {ds\over \sqrt{2gy}} \!\, , </math>
če je <math>ds^2 = dx^2 + dy^2</math> kvadrat elementa ločne dolžine. Določiti moramo [[tir]] ''y''(''x''), pri katerem je pri dani začetni in končni točki čas ''t'' najkrajši. Takšne naloge sodijo v variacijski račun. Rešitev je [[cikloida]], parametrično:
: <math> x = r (\varphi - \sin \varphi) \!\, , </math>
: <math> y = r (1 - \cos \varphi) \!\, . </math>
Krivuljo dobimo, če si mislimo, da se krog s polmerom ''r'' kotali po spodnji
strani ''x''. Hitro ugotovimo, da je:
: <math> \begin{align}
ds &= \sqrt{ \left( {dx\over d\varphi} \right) ^2 +
\left( {dy\over d\varphi} \right) ^2 } d\varphi =
\sqrt{r^2 (1 - \cos \varphi)^2 + r^2 \sin^2 \varphi} d\varphi =
\sqrt {2r^2 (1 - \cos \varphi) } d\varphi \\
&= \sqrt{2ry} d\varphi \!\, \end{align} </math>
in čas:
: <math> t = \sqrt{r\over g} \varphi \!\, . </math>
Bernoulli je prispeval k rešitvi naloge za ta primer in velja za začetnika variacijskega računa. Splošno nalogo za brahistokrono je rešil leta [[1774]] Euler. Cikloida je na primer tudi tavtokrona krivulja, to je krivulja, po kateri niha [[točkasto telo|masna točka]] ali kroglica z [[nihajni čas|nihajnim časom]], ki ni odvisen od [[amplituda|amplitude]] njenega [[nihanje|nihanja]], katero je leta [[1673]] raziskal Huygens.
Leta 1697 je odkril [[enakost]]i, ki se včasih imenujeta [[sanje nezrelega]].
| 