Brahistokrona: Razlika med redakcijama

Izbrisana vsebina Dodana vsebina
Nov članek
(ni razlike)

Redakcija: 15:04, 15. marec 2009

Brahistokrona (gr. βραχίστος, brahistos - najkrajši, χρόνος, kronos - čas) je ravninska krivulja, po kateri masna točka z začetno hitrostjo iz neke točke (A) pride v drugo točko (B) v najkrajšem času pod pogojem, da nanjo deluje konstanten gravitacijski pospešek in da trenje ni prisotno.

Brahistokrona je cikloida

Postavimo izhodišče koordinatnega sistema z vodoravno osjo x in navpično osjo y v začetno lego drobnega telesa. Po Huygensovi enačbi ali po izreku o kinetični in potencialni energiji je:

 

Za čas, ki ga potrebuje telo iz začetne do končne točke, dobimo:

 

če je   kvadrat elementa ločne dolžine. Določiti moramo tir y(x), pri katerem je pri dani začetni in končni točki čas t najkrajši. Takšne naloge sodijo v variacijski račun. Rešitev je cikloida, parametrično:

 
 

Krivuljo dobimo, če si mislimo, da se krog s polmerom r kotali po spodnji strani x. Hitro ugotovimo, da je:

 

in čas:

 

Zgodovina

Problem brahistokrone je postavil Johann Bernoulli in zanj leta 1696 prvi objavil rešitev, ki pa naj bi bila v resnici rešitev njegovega brata Jakoba.[1] Spada med variacijske probleme, Johann Bernoulli pa velja za očeta variacijskega računa.

Opombe in reference

  1. Weisstein, Eric W. »"Brachistochrone Problem"«. MathWorld--A Wolfram Web Resource. Pridobljeno 15. marca 2009.