Cantorjev diagonalni dokaz: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m robot Spreminjanje: tr:Cantor'un köşegen yöntemi |
m pp, Replaced: nek → neki (3) |
||
Vrstica 32:
# Število ''x'' je očitno realno število (saj vsak desetiški zapis predstavlja neko realno število) na intervalu [0,1]. Za zgornje zaporedje {r<sub>n</sub>}, na primer, dobimo naslednji desetiški zapis:
#: ''x'' = 0 , 4 5 5 5 5 5 4 …
# Torej mora za
# Toda, ker smo v 6. koraku 4-ke in 5-ke izbrali na posebno »zloben« način, se ''x'' od ''r''<sub>''n''</sub> razlikuje vsaj na ''n''-tem mestu, za vsak ''n''. To pomeni, da števila ''x'' v zaporedju (''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub>, ''r''<sub>3</sub>, …) ni!
# To zaporedje torej ni oštevilčenje množice vseh realnih števil z intervala [0,1]. '''To je [[protislovje]]'''.
Vrstica 51:
Cantor je uporabil posplošeno obliko diagonalnega dokaza, da je dokazal [[Cantorjev izrek]]: za vsako [[množica|množico]] ''S'', je [[potenčna množica]] množice ''S'' - se pravi, množica vseh [[podmnožica|podmnožic]] množice ''S'' (tu jo bomo pisali kot '''P'''(''S'')) - [[moč množice|večja]] kot sama množica ''S''. Ta dokaz s protislovjem gre takole:
Denimo, da sta ''S'' in '''P'''(''S'') enako močni in naj bo torej ''f'' katerakoli bijektivna preslikava med njima. Zadostuje dokazati, da ''f'' ne more biti [[surjektivna preslikava|surjekcija]]. To pomeni, da
:<math>T=\{\,s\in S: s\not\in f(s)\,\}.</math>
Če je ''T'' v sliki ''f'', potem za
* Če ''t'' je v ''T'', potem je ''t'' v ''f''(''t''), vendar, po definiciji množice ''T'', odtod sledi, da ''t'' ni v ''T''.
* Po drugi plati, če ''t'' ni v ''T'', potem ''t'' ni v ''f''(''t''), in po definiciji ''T'' odtod sledi, da ''t'' je v ''T''.
| |||