Wikipedija

Metoda navadne iteracije: Razlika med redakcijama

Pregledujte zgodovino interaktivno
Novejše urejanje →
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
VizualnoVikibesedilo
Marino (pogovor | prispevki)
2.800 urejanj
Ena od pomembnejših metod za numerično reševanje enačb
 
m dp/negibna točka glede na Brouwerjev izrek o negibni točki/decimalne vejice
Vrstica 1:
'''Metóda navádne iterácije''' je v [[matematika|matematiki]] preprosta in učinkovita [[numerična metoda]] za določanje fiksnih[[negibna točka|negibnih točk]] [[funkcija|funkcije]]. FiksnaNegibna (negibnafiksna) točka funkcije ''g'' je [[točka]], v kateri je vrednost funkcije enaka podatku, torej:
 
: <math> x=g(x) \,\! . </math>
 
== Potek postopka ==▼
 
▲==Potek postopka==
Enačbo oblike ''x''&nbsp;=&nbsp;''g''(''x'') rešimo po metodi navadne iteracije z naslednjim postopkom:
 
*Najprej si izberemo začetni približek <math>x_0\,\!</math>.
*Ta približek vstavimo v funkcijoNajprej insi dobimoizberemo naslednjizačetni približek <math>x_1=g(x_0)\,\!</math>.
*Na enakTa načinpribližek izračunamovstavimo šev nadaljnjefunkcijo približke:in dobimo naslednji približek <math>x_2=g(x_1),~ x_3=g(x_2),~\ldots,~x_n=g(x_{n-1}x_0)\,\!</math>.
* Na enak način izračunamo še nadaljnje približke: <math>x_2=g(x_1),~ x_3=g(x_2),~\ldots,~x_n=g(x_{n-1})\,\!</math>.
* Postopek končamo, ko smo zadovoljni z natančnostjo dobljenega približka.
 
Tako dobljeno zaporedje približkov [[konvergenca|konvergira]] k fiksni točki, če je v neki okolici fiksne točke [[odvod]] funkcije ''g'' po absolutni vrednosti manjši od 1 in če začetni približek leži v tej okolici.
 
== Zgled ==
 
Rešimo enačbo <math>x= \cos x\,\!</math> (kjer je ''x'' [[kot]] v [[radian]]ih). Ker odvod funkcije po absolutni vrednosti nikoli ni večji od 1, je izbira začetnega približka precej poljubna. Izberimo npr. začetni približek 1. Po večkratnem izvajanju funkcije [[kosinus]] dobimo naslednje približke:
 
:<math>x_0=1\,\!</math>▼
: <math>x_1 x_0=0.540301\,\! </math>
: <math>x_2 x_1=0.85755,54030\,\! </math>
: <math>x_3 x_2=0.65429,85755\,\! </math>
: <math>x_4 x_3=0.79348,65429\,\! </math>
: <math>x_5 x_4=0.70137,79348\,\! </math>
▲: <math>x_0 x_5=10,70137\,\! </math>
 
Vidimo, da se razlika med zaporednima približkoma manjša, kar je znak, da zaporedje konvergira. Po večjem številu korakov dobimo približek:
:<math>x_{20}=0.73918\,\!</math>▼
:<math>x_{21}=0.73901\,\!</math>▼
Iz tega sklepamo, da so prve tri decimalke pravilne rešitve enake <math>x=0.739\,\!</math>. Če želimo izračunati [[rešitev enačbe|rešitev]] na več decimalk natančno, postopek nadaljujemo.▼
 
▲: <math> x_{20}=0.,73918\,\! </math>
==Drugi načini uporabe==▼
▲: <math> x_{21}=0.,73901\,\! </math>
===Iskanje ničel funkcije===▼
 
▲Iz tega sklepamo, da so prve tri decimalke pravilne rešitve enake <math>x=0.,739\,\!</math>. Če želimo izračunati [[rešitev enačbe|rešitev]] na več decimalk natančno, postopek nadaljujemo.
 
▲== Drugi načini uporabe ==
▲=== Iskanje ničel funkcije ===
 
Metodo navadne iteracije lahko uporabimo za iskanje [[ničla funkcije|ničel]] poljubne [[funkcija|funkcije]] ''f'', če enačbo ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;0 najprej preoblikujemo v obliko ''x''&nbsp;=&nbsp;''g''(''x''). To je ponavadi možno na več načinov, vendar pa vsa preoblikovanja niso enako uspešna.
 
Vrstica 32 ⟶ 41:
<li>
Polinom lahko preoblikujemo po naslednejm postopku:
 
:<math>0=x^3-3x+5\,\!</math>▼
: <math>3x 0=x^3-3x+5\,\! </math>
: <math>x 3x=\frac{x^3+5}{3}\,\! </math>
: <math> x=\frac{x^3+5}{3} </math>
 
V dobljeno iteracijsko funkcijo <math>g(x)=\frac{x^3+5}{3}</math> vstavljamo različne začetne približke in opazimo, da dobljeno zaporedje nikoli ne konvergira.
</li>
<li>
Isti polinom lahko preoblikujemo tudi drugače:
 
▲:<math>x^3-3x+5=0\,\!</math>
: <math> x^3=3x-3x+5=0\,\! </math>
: <math> x=\sqrt[^3]{=3x-5}\,\! </math>
: <math> x=\sqrt[3]{3x-5} </math>
 
Tako dobljena iteracijska funkcija :<math>g(x)=\sqrt[3]{3x-5}</math> je uspešnejša. Pri različnih izbirah začetneg približka dobimo že po nekaj korakih ničlo na več decimalk natančno:
 
: <math> x=-2.,279018786\,\! . </math>
</li>
</ul>
 
=== Reševanje enačbe oblike ''h''(''x'') = ''k''(''x'') ===
 
Splošno enačbo oblike ''h''(''x'') = ''k''(''x'') lahko preoblikujemo z uporabo [[inverzna funkcija|inverza]] funkcije ''h'' ali ''k'' (če obstajata). Tako dobimo dve obliki:
 
▲:<math>x=h^{-1}(k(x))\,\!</math>
: <math>x=kh^{-1}(hk(x))\,\! </math>
▲: <math>0=x=k^3{-3x+51}(h(x))\,\! </math>
 
Praviloma vsaj ena od teh dveh metod (ob izbiri primernega začetnega približka) vodi k rešitvi.
 
== Glej tudi ==
 
* [[metoda pospešene iteracije]] (Newtonova ali tangentna metoda)
 
[[Kategorija:Numerična analiza]]
Pridobljeno iz »https://sl.wikipedia.org/wiki/Metoda_navadne_iteracije«