Polinom: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m →Razcep polinomov: +gt |
+deljenje, razcep |
||
Vrstica 105:
Polinom ''k'' imenujemo [[količnik]] (stopnje ''n - m''), polinom ''r'' pa [[ostanek]] (stopnje ''0 ≤ st(r) < m'').
===Deljenje polinoma ''p'' s polinomom (''x'' − ''a'') ===
Posebej zanimiv primer deljenja je deljenje polinoma ''p'' z linearnim polinomom oblike (''x'' − ''a''). Ker je stopnja ostanka vedno manjša od stopnje delitelja, mora biti ostanek pri takem deljenju stopnje 0 - ostanek je torej konstanten polinom (število):
:<math>p(x)=(x-a)\,k(x) + o</math>
Če v zgornjo enakost vstavimo vrednost ''x'' = ''a'', se izkaže, da je vrednost ''p''(''a'') ravno enaka zgoraj omenjenemu ostanku. Torej velja pomembna zakonitost:
Ostanek pri deljenju polinoma ''p'' s polinomom (''x'' − ''a'') je vedno enak kot vrednost polinoma ''p'' v točki ''a''.
Če je število ''a'' [[ničla funkcije|ničla]] polinoma ''p'', je ostanek seveda enak 0 in to pomeni, da lahko polinom zapišemo v obliki produkta dveh faktorjev:
:<math>p(x)=(x-a)\,q(x)</math>
== Razcep polinomov ==
Če poznamo vse ničle, lahko polinom stopnje ''n'' zapišemo v razcepljeni (ničelni) obliki:
:<math>p(x)=A(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)</math>
Število ''A'' je vodilni koeficient polinoma, števila ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub> pa so ničle.
Pri tem se lahko upravičeno vprašamo, ali polinom sploh ima ničle. Obstoj ničel zagotavlja [[osnovni izrek algebre]] (imenovan tudi Gaußov izrek). Žal pa ne obstaja noben splošni postopek, s katerim bi lahko izračunali vse ničle katerega koli polinoma. Pri iskanju ničel si zato pomagamo z različnimi postopki, med katerimi so najpomembnejši:
*pravila za [[faktorizacija|razcepljanje]] veččlenikov,
*[[Hornerjev algoritem]],
*[[numerične metode]], npr. [[bisekcija (numerična metoda)|metoda bisekcije]].
== Glej tudi ==
| |||