Laplaceov operator: Razlika med redakcijama

dodanih 686 zlogov ,  pred 16 leti
m
Krogelne koordinate
m (Tn)
m (Krogelne koordinate)
[[sv:Laplaceoperatorn]]
 
'''Laplaceov operator''' je v [[vektorski račun|vektorskem računu]] [[skalar]]ni [[diferencialni operator]] skalarne funkcije φ. Je enak vsoti vseh drugih [[parcialni odvod|parcialnih odvodov]] odvisne spremenljivke.
 
To odgovarja [[divergenca|div]] ([[gradient|grad]] φ), zato tudi uporaba simbola [[del]] (nabla operator), ki ga predstavlja:
Zapišemo ga tudi z znakom Δ.
 
V eno in dvorazsežnih [[kartezičnekartezični koordinatekoordinatni sistem|kartezičnih koordinatah]] je Laplaceov operator:
 
: <math> \Delta_{1} \equiv \nabla^{2}_{1} = {\partial^2 \over \partial x^2 } \; , \quad \Delta_{2} \equiv \nabla^{2}_{2} = {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 } \; . </math>
 
In v treh &Sigma;(''x'', ''y'', ''z''):
: <math> \Delta_{3} \equiv \nabla^{2}_{3} =
{\partial^2 \over \partial x^2 } +
{\partial^2 \over \partial y^2 } +
{\partial^2 \over \partial z^2 } \; .
</math>
 
V trorazsežnih [[krogelni koordinatni sistem|sferičnih koordinatah]] &Sigma;(''r'', &theta;, &phi;) je:
 
:<math> \nabla^2 t = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
(r^2 {\partial t \over \partial r}) +
{1 \over r^2 sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
(sin \theta {\partial t \over \partial \theta}) +
{1 \over r^2 sin^2 \theta}
{\partial^2 t \over \partial \phi^2} \; .
</math>
 
Laplaceov operator se na primer pojavlja v [[Laplaceova enačba|Laplaceovi]], [[Poissonova enačba|Poissonovi]], [[Poisson-Boltzmannova enačba|Poisson-Boltzmannovi]], [[Helmholtzova enačba|Helmholtzovi]] ali [[valovna enačba|valovni enačbi]].
 
Laplaceov operator je [[linearnost|linearen]]:
 
: <math> \nabla^2 (f + g) = \nabla^2 f + \nabla^2 g \; . </math>
 
Velja tudi:
 
: <math>\nabla^2(fg)=(\nabla^2f)g+2(\nabla f)\cdot(\nabla g)+f(\nabla^2g) \; . </math>