Skalarni produkt: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m robot Dodajanje: ca, cs, da, es, fa, he, it, ko, lt, pt, th, uk Spreminjanje: hu, ja, zh |
+dodal Posplošitev |
||
Vrstica 26:
Skalarni produkt medsebojno [[pravokotnost|pravokotnih]] vektorjev je enak 0, saj je [[kosinus]] vmesnega kota enak nič (cos 90° = 0):
:<math>\vec a\bot\vec b \iff \vec a\vec b =0</math>
==Posplošitev skalarnega produkta==
Izraz ''skalarni produkt'' uporabljamo tudi v širšem smislu besede.
'''Posplošeni skalarni produkt''' (ali ''skalarni produkt v širšem smislu besede'') je [[računska operacija]], ki ima iste osnovne lastnosti kot običajni skalarni produkt. Takšno operacijo imenujemo tudi '''notranji produkt'''.
===Definicija notranjega produkta===
Imejmo [[vektorski prostor]] ''V'' nad komutativnim [[obseg (algebra)|obsegom]] '''F''' (v praksi je '''F''' običajno množica [[realno število|realnih]] ali pa množica [[kompleksno število|kompleksnih števil]]).
Notranji produkt je preslikava, ki dvema vektorjema iz ''V'' priredi element obsega '''F'''. Rezultat označimo kot <math>\langle x,y\rangle</math> ali (''x,y'') ali kar preprosto ''x y''.
Za notranji produkt morajo veljati naslednje lastnosti (za poljubne vektorje ''x,y'' in ''z''ter za poljubna ''a''in ''b'' iz obsega '''F'''):
*konjugirana simetrija:
:<math>\langle x,y\rangle =\overline{\langle y,x\rangle}</math>
:Opomba: Če je '''F''' obseg realnih števil, to pomeni preprosto simetričnost <math>\langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle</math>, v kompleksnem pa je treba upoštevati še konjugiranje.
* Linearnost (v prvem faktorju):
:<math>\langle ax,y\rangle= a \langle x,y\rangle</math>
:<math>\langle x+y,z\rangle= \langle x,z\rangle+ \langle y,z\rangle</math>
===Lastnosti===
Če upoštevamo definicijske lastnosti, vidimo, da velja tudi:
*Linearnost v drugem faktorju (s konjugiranjem, če je ''b'' kompleksno število):
:<math>\langle x,by \rangle= \overline{b} \langle x,y\rangle</math>
:<math>\langle x,y+z\rangle= \langle x,y\rangle+ \langle x,z\rangle</math>
*Pozitivna definitnost:
:<math>\langle x,x\rangle \in \mathbb{R}^+</math> za vsak ''x'' različen od 0
===Evklidski prostor===
{{glavni|Evklidski prostor}}
S pomočjo notranjega produkta lahko v vektorski prostor ''V'' uvedemo mero za merjenje dolžin in kotov. Tako opremljen vektorski prostor imenujemo [[evklidski prostor]].
Dolžino vektorja ''x'' definiramo kot:
:<math>||x||=\sqrt{\langle x, x\rangle}</math>
Razdaljo med vektorjema ''x'' in ''y'' definiramo kot
:<math>d(x,y)=||x-y||\,\!</math>
Kot med vektorjema ''x'' in ''y'' pa definiramo kot:
:<math><\!\!\!)\,(x,y)=\arccos\frac{\langle x, y\rangle}{||x||~||y||}</math>
{{Linearna algebra}}
| |||