Erlangenski program: Razlika med redakcijama

'''Erlangenski program''' je program raziskovanja [[geometrija|geometrije]], ki ga je zastavil [[Felix Christian Klein]] leta [[1872]] v nastopnem predavanju na univerzi[[Univerza v Erlangenu|Univerzi v]] [[Erlangen]]u. Predavanje je objavil pod naslovom ''Primerjalna obravnava novih geometrijskih raziskovanj'' (''Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen''), vendar se je maedmed matematiki bolj prijelo ime ''Erlangenski program''. V tem programu je Klein objavil svoje odgovore na problem različnih geometrij, ki so se takrat pojavile ob klasični [[evklidska geometrija|evklidski geometriji]].

V tem času je bila že znana [[hiperbolična geometrija]] [[Nikolaj Ivanovič Lobačevski|Lobačevskega]] pa tudi [[projektivna geometrija|projektivna]] in [[afina geometrija]]; svoje poglede na geometrijo je objavil že tudi [[Bernhard Riemann|Riemann]]. Med matematiki je bila odprta razprava o tem, ali se različne geometrije med sabo dopolnjujejo ali izključujejo.

Felix Klein je ugotovil, da [[projektivna geometrija]] predstvlja najsplošnejši okvir velike množice geometrij. Te geometrije danes imenujemo homogene (tudi "»ravne"«) geometrije, ker imajo v okolici vsake [[točka|točke]] enake lastnosti (za razliko od geometrij na [[ukrivljenost|ukrivljenih]] ploskvah[[ploskva]]h, kjer so lastnosti lahko od točke do točke drugačne).

Lastnosti projektivne geometrije določa [[grupa]] vseh projektivnih [[preslikava|preslikav]]. Ostale geometrije lahko dobimo znotraj projektivne geometrije tako, da se omejimo na neko [[podgrupa|podgrupo]] grupe vseh projektivnih preslikav. Taka podgrupa potem ohranja določene lastnosti, ki jih imenujemo [[invarianta|invariante]]. Te lastnosti tvorijo temelj nove geometrije.

Na ta način lahko ustvarimo znotraj projektivne geometrije modele [[afina geometrija|afine]], [[evklidska geometrija|evklidske]], [[hiperbolična geometrija|hiperbolične]] in [[eliptična geometrija|eliptične geometrije]] pa tudi mnogih drugih (omenimo samo geometrijo [[Hermann Minkowski|Hermana Minkowskega]], ki je zelo pomembna za [[posebna teorija relativnosti|posebno teorijo relativnosti]]).

Temelj posamične geometrije je ustrezna grupa preslikav, ki v tej geometriji pomenijo [[togi premik|toge premike]]. Če lahko en [[geometrijski lik|lik]] ([[geometrijsko telo|telo]]) preslikamo na drugega s takšno preslikavo, pravimorečemo, da sta [[skladnost|skladna]]. Osnovni lastnosti (invarianti), ki ju te preslikave ohranjajo, sta [[razdalja]] in [[kot]]. Klein je [[razdalja|razdaljo]] med dvema točkama in kot med dvema premicama[[premica]]ma definiral s pomočjo [[dvorazmerje|dvorazmerja]]. V tej definiciji nastopata še dva prosta parametra, zato lahko táko grupo preslikav izberemo na različne načine in kot rezultat dobimo različne geometrije.