Obseg (algebra): razlika med redakcijama

dodanih 2.888 zlogov ,  pred 12 leti
Dopolnil, rekatgr
m (dp)
(Dopolnil, rekatgr)
{{drugipomeni2|obseg}}
'''Obsèg''' je v [[abstraktna algebra|abstraktni algebri]] ime za [[komutativnostmnožica|komutativnimnožico]], [[kolobar]]v (''O''kateri je možno brez omejitev seštevati, +odštevati, ·)množiti in deliti (razen deljenja z 0), pri tem pa veljajo podobni zakoni kot v množici [[nevtralniracionalno elementštevilo|nevtralnimracionalnih]] elementomali (identiteto)[[realno število|realnih števil]],. Obseg je torej neke vrste posplošitev množice darealnih velja:števil.
* 1 ≠ 0
* Če je [[število]] ''a'' <math>\in</math> ''O'' in ''a'' ≠ 0, potem obstaja število ''b'' <math>\in</math> ''O'' z ''a'' · ''b'' = 1. (Vsi elementi ''O'' razen 0 imajo multiplikativno obratno vrednost).
 
==Definicija==
Obsegi so pomembni v abstraktni algebri, saj lahko z njimi pravilno posplošimo [[obseg števil|obsege števil]], kot sta množici [[racionalno število|racionalnih števil]] ali [[realno število|realnih števil]].
Obseg je množica ''O'' skupaj z dvema [[matematična operacija|računskima operacijama]], ki ju zaradi preprostosti imenujemo [[seštevanje]] in [[množenje]] in ju označujemo z znakoma + (plus) in '''·''' (krat). Za računski operaciji + in '''·''' morajo veljati spodaj navedene lastnosti. [[Odštevanje]] definiramo kot prištevanje nasprotne vrednosti ''a'' − ''b'' = ''a'' + (−''b''), [[deljenje]] pa kot množenje z obratno vrednostjo: ''a'' ''':''' ''b'' = ''a'' '''·''' ''b''<sup>−1</sup>. Za ti dve operaciji ne zahtevamo dodatnih lastnosti.
 
Tako opremljeno množico označimo kot (''O'', +, '''·''')
Z obsegi lahko, na primer, določimo [[vektor (matematika)|vektorje]] in [[matrika|matrike]], dve [[matična struktura|strukturi]] v [[linearna algebra|linearni algebri]], katerih elementi so lahko elementi poljubnega polja. [[Galoisova teorija]] raziskuje simetrijo enačb z načini, s katerimi so obsegi vloženi drugi v drugih.
 
===Kratka definicija===
{{math-stub}}
Obseg je [[množica]] (''O'', +, '''·''') v kateri velja:
 
* (''O'', +, '''·''') je [[kolobar (algebra)|kolobar]]
[[Kategorija:Matematika]]
* obstaja [[nevtralni element]] za množenje, ki ga označimo 1 ([[enota]]), in je različen od nevtralnega elementa za seštevanje (0):
:1 '''·''' ''a'' = ''a'' '''·''' 1 = ''a''
* za vsak od 0 različen element ''a'' obstaja inverzni element ''a''<sup>−1</sup>, tako da velja:
:''a'' '''·''' ''a''<sup>−1</sup> = ''a''<sup>−1</sup> '''·''' ''a'' = 1
 
===Daljša definicija===
Obseg je [[množica]] (''O'', +, '''·''') v kateri velja (za poljubne elemente ''a'', ''b'', ''c''):
* [[komutativnost]] za seštevanje: ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a''
* [[asociativnost]] za seštevanje: ''a'' + (''b'' + ''c'') = (''a'' + ''b'') + ''c''
* obstaja [[nevtralni element]] za seštevanje (označimo ga z oznako 0): ''a'' + 0 = 0 + ''a'' = ''a''
* poljubni element ''a'' ima [[nasprotni element]] −''a'', tako da velja: ''a'' + (−''a'') = (−''a'') + ''a'' = 0
 
* [[asociativnost]] za množenje: ''a'' '''·''' (''b'' '''·''' ''c'') = (''a'' '''·''' ''b'') '''·''' ''c''
* [[distributivnost]] (z leve in z desne strani), ki povezuje seštevanje in množenje:
:''a'' '''·''' (''b'' + ''c'') = (''a'' '''·''' ''b'') + (''a'' '''·''' ''c'')
:(''a'' + ''b'') '''·''' ''c'' = (''a'' '''·''' ''c'') + (''b'' '''·''' ''c'')
* obstaja [[nevtralni element]] za množenje, ki ga označimo 1 ([[enota]]), in je različen od nevtralnega elementa za seštevanje (0):
:1 '''·''' ''a'' = ''a'' '''·''' 1 = ''a''
* za vsak od 0 različen element ''a'' obstaja [[inverzni element]] ''a''<sup>−1</sup>, tako da velja:
:''a'' '''·''' ''a''<sup>−1</sup> = ''a''<sup>−1</sup> '''·''' ''a'' = 1
 
===Vrste obsegov===
 
Med zgoraj napisanimi zahtevami ni [[komutativnost]]i za množenje. Če v nekem obsegu velja tudi komutativnost množenja (''a'' '''·''' ''b'' = ''b'' '''·''' ''a''), potem je to ''komutativni obseg''. Nekateri avtorji za ''komutativni obseg'' uporabljajo ime '''polje''', a to poimenovanje v slovenščini ni splošno razširjeno.
 
== Zgledi ==
 
Množica [[racionalna števila|racionalnih števil]] z operacijama [[seštevanje|seštevanja]] in [[množenje|množenja]] ('''Q''', +, '''·''') je komutativni obseg. Isto velja za množico [[realna števila|realnih števil]], pa tudi za množico [[kompleksna števila|kompleksnih števil]].
 
Tudi množica [[racionalna funkcija|racionalnih funkcij]] z operacijama [[seštevanje|seštevanja]] in [[množenje|množenja]] je komutativni obseg.
 
Množica [[matrika|matrik]] dimenzije ''n''×''n'' na splošno ni obseg. Če pa vzamemo samo ''obrnljive'' matrike dimenzije ''n''×''n'' in tej množici dodamo matriko 0, dobimo nekomutativni obseg.
 
==Glej tudi==
* [[Grupa (matematika)|grupa]]
* [[Kolobar (algebra)|kolobar]]
 
 
[[Kategorija:MatematikaAlgebrske strukture]]
 
[[ca:Cos (matemàtiques)]]
2.800

urejanj