Evolventa: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m dp/predloga |
+ |
||
Vrstica 1:
[[Slika:Involut cir.jpg|thumb|right|200px|[[Evolventa krožnice]]]]
[[Slika:EvolventenKonstuktion.png|thumb|right|200px|Konstrukcija evolvente [[Neilova parabola|Neilove parabole]]. Različne dolžine tangent na dano krivuljo tvorijo družino evolvent (rdeče)]]
'''Evolvénta''' ([[latinščina|latinsko]] evolvens - ''odmotavajoč'', ''razmotavajoč'', ''odvijajoč'', oziroma evolvere - ''odmotavati'', ''razmotavati'', ''odvijati''), (tudi '''involúta'''; latinsko involutus - ''zvit'') dane [[gladka funkcija|gladke]] [[krivulja|krivulje]] v [[ravnina|ravnini]] je v [[diferencialna geometrija krivulj|diferencialni geometriji krivulj]] druga krivulja, ki jo dobimo s pritrditvijo namišljene napete niti na dano krivuljo ([[evoluta|evoluto]]) in opazujemo njen prosti konec, ko se ovija po dani krivulji, oziroma odvija po njej. Evolventa je
Evoluta evolvente je originalna krivulja z nedefinirano [[ukrivljenost]]jo.
== Definicija ==
Če je [[funkcija]] <math>r:\mathbb R\to\mathbb R^{n}</math> [[naravni parameter|naravna parametrizacija]] krivulje (če za vse ''s'' velja <math>|r^\prime(s)|=1</math>), potem:
Vrstica 18 ⟶ 21:
== Zgledi ==
Evolvente so v [[tehnika|tehniki]] pomembne krivulje. Obliko [[evolventa krožnice|evolvente krožnice]] imajo zobje večine sodobnih [[zobnik]]ov.
Evolventa [[verižnica|verižnice]] je [[traktrisa]], oblika, ki jo imajo včasih na primer [[globoki vlek|vlečne]] [[matrica|matrice]] (še posebej pri globokem vlečenju brez pločevinskega držala) ali pa [[rog]]ovi, kjer se zaradi ugodnejšega notranjega odboja [[zvok]]a zmanjšajo deformacije. Traktrisa je tudi neciklična [[radiodroma]].
=== Evolventa krožnice ===
[[Slika:Animated involute of circle.gif|thumb|right|200px|Animacija [[evolventa krožnice|evolvente krožnice]]]]
[[Evolventa krožnice]] ima obliko [[spirala|spirale]]. [[parametrična enačba|Parametrično]] je s [[kartezični koordinatni sistem|kartezičnima koordinatama]] (''x'', ''y'') določena z enačbama:
: <math> x = a (\cos t + t \sin t) \!\, , </math>
: <math> y = a (\sin t - t \cos t) \!\, , </math>
kjer je ''a'' [[polmer]] [[krožnica|krožnice]], ''t'' pa [[kot]] med [[abscisna os|abscisno osjo]] in [[pravokotnica|pravokotnico]] na tangento krožnice. V [[polarni koordinatni sistem|polarnih koordinatah]] (''r'', φ) ima evolventa krožnice parametrični enačbi:
: <math> r = a \sec t \!\, , </math>
: <math> \varphi = a \, \operatorname{tg}\, t - t \!\, . </math>
[[Leonhard Euler|Euler]] je predlagal evolvento krožnice za obliko ozobljenega zobnika.
=== Evolventa verižnice ===
Evolventa [[verižnica|verižnice]] skozi njeno [[teme]] je [[traktrisa]]. Njeni kartezični parametrični enačbi sta:
: <math> x = t-\operatorname{th}\, t \!\, , </math>
: <math> y = \operatorname{sech}\, t \!\, , </math><br>
kjer je ''t'' kot;
: <math> t = \operatorname{Arch}\, \frac{1}{y} \!\, </math>
in sech [[hiperbolični sekans]] (<math>1/\operatorname{ch}\, t</math>).
=== Evolventa cikloide ===
Ena evolventa [[cikloida|cikloide]] je [[kongruenca|kongruentna]] cikloida. Njeni kartezični parametrični enačbi sta:
: <math> x=a (t+\sin t) \!\, , </math>
: <math> y=a(3+\cos t) \!\, , </math>
kjer je ''t'' kot, ''a'' pa polmer.
== Glej tudi ==
* [[Humbertov izrek]]
== Zunanje povezave ==
* [http://mathworld.wolfram.com/Involute.html Evolventa] na mathworld.wolfram.com {{ikona en}}
{{Ravninske krivulje}}
| |||