Mertensova funkcija: Razlika med redakcijama

dodanih 2.766 zlogov ,  pred 11 leti
dp+
(dp+)
'''Mertensova funkcijafúnkcija''' [mértensova ~] je v [[teorija števil|teoriji števil]] [[aritmetična funkcija]] določena z [[vsota|vsoto]]:
 
: <math>M(n) = \sum_{k=1}^{n} \mu(k) \;!\, , </math>
 
kjer je μ(k) [[Möbiusova funkcija]]. Mertensova funkcija pomeni število celih števil [[deljivost brez kvadrata|deljivih brez kvadrata]] manjših ali enakih ''n'', ki imajo sodo število sodih [[prafaktor]]jev, minus število celih števil, ki imajo sodo število prafaktorjev.
kjer je &mu;(k) [[Möbiusova funkcija]].
 
Prve vrednosti Mertensove funkcije so {{OEIS|id=A002321}}:
Mertensova funkcija ima [[ničla|ničle]] za vrednosti ''n'' {{OEIS|id=A028442}}:
 
: [[2 (število)|2]], [[39 (število)|39]], [[40 (število)|40]], [[58 (število)|58]], [[65 (število)|65]], [[93 (število)|93]], [[101 (število)|101]], 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, ...,
 
in za [[praštevilo|praštevilske]] vrednosti ''n'' {{OEIS|id=A100669}}
: [[1 (število)|1]], [[5 (število)|5]], [[13 (število)|13]], [[31 (število)|31]], 110, 114, 197, 199, 443, 659, 661, 665, 1105, 1106, 1109, 1637, 2769, 2770
 
Ker Möbiusova funkcija vrača le vrednosti -1, 0 in +1, je očitno, da se Mertensova funkcija spreminja počasi in, da ne obstaja takšen ''n'', za katerega bi veljalo:
Mertensova funkcija je v tesni zvezi z ničlami [[Riemannova funkcija zeta|Euler-Riemannove funkcije &zeta;]]. [[Thomas Joannes Stieltjes]] je leta [[1885]] v pismu svojemu sodelavcu [[Charles Hermite|Hermitu]] nakazal povezavo Mertensove funkcije z [[Riemannova domneva|Riemannovo domnevo]] in trdil, da je našel dokaz da velja:
 
: <math>\left | M(n) \right| < \sqrt {> n } \;!\, . ,</math>
 
Mertensova funkcija je v tesni zvezi z ničlami [[Riemannova funkcija zeta|Euler-Riemannove funkcije &zeta;ζ]]. [[Thomas Joannes Stieltjes]] je leta [[1885]] v pismu svojemu sodelavcu [[Charles Hermite|Hermitu]] nakazal povezavo Mertensove funkcije z [[Riemannova domneva|Riemannovo domnevo]] in trdil, da je našel dokaz da velja:
 
: <math> \left| M(n) \right| < \sqrt { n } \!\, , </math>
 
oziroma, da je vrednost izraza:
 
: <math> M(n)\over \sqrt { n } \!\, </math>
 
vedno med dvema stalnima mejama. Stieltjes dokaza ni nikoli objavil, ker je verjetno našel napako. [[Franz Mertens]] je leta [[1897]] objavil 50 strani dolgo tabelo vrednosti za ''M''(''n'') za števila do 10.000. Na podlagi tabele je menil, da je Stieltjesova neenakost zelo verjetna. Danes to imenujemo [[Mertensova domneva]], katere negativen izzid sta dokazala leta [[1985]] [[Herman te Riele|te Riele]] in [[Andrew M.Michael Odlyzko|Odlyzko]]. Ker Mertensova in Riemannova domneva nista enakovredni, iz neveljavnosti Mertensove domneve ne moremo sklepati o Riemannovi domnevi. Če pa bi Mertensova domneva veljala, bi veljala tudi Riemannova. Riemannova domneva je enakovredna šibkejši domnevi o rasti funkcije <math>M(n)</math>, namreč, da velja:
 
: <math> M(n) = o(n^{(1/2) + \epsilon}) \!\, . </math>
 
kjer je <math>o</math> Landaujev zapis z malim o. Ker velike vrednosti ''M'' naraščajo vsaj tako hitro kot [[kvadratni koren]] od ''n'', je meja zelo tanka.
 
Analitična enačba za Mertensovo funkcijo ni znana.
 
== Integralski prikazi ==
 
Za [[Eulerjev produkt]] velja:
 
: <math> \frac{1}{\zeta(s) }= \prod_{p\in \mathbb{P}} (1-p^{-s}) = \sum_{n=1}^{\infty}\mu (n)n^{-s} \!\, , </math>
 
kjer je <math>\zeta(s)</math> Riemannova funkcija ζ, produkt pa teče po vseh praštevilih. Z [[Dirichletova vrsta|Dirichletovo vrsto]] in [[Perronova enačba|Perronovo enačbo]] velja:
 
: <math> \frac{1}{2\pi i}\oint_{C}ds \frac{x^{s}}{s\zeta(s) }=M(x) \!\, , </math>
 
kjer je »C« [[krivuljni integral|sklenjena krivulja]], ki obkroža vse ničle <math>\zeta(s)</math>.
 
Na drugi strani velja [[Mellinova transformacija]]:
 
: <math> \frac{1}{\zeta(s)} = s\int_1^\infty \frac{M(x)}{x^{s+1}}\,dx \!\, </math>
 
za <math>\Re(s)>1</math>.
 
Mertens je podal zvezo, ki vsebuje [[funkcija Čebišova|funkcijo Čebišova]]:
 
: <math> \Psi (x) = -M\left(\frac{x}{2}\right)\log(2)-M\left(\frac{x}{3}\right)\log(3)-M\left(\frac{x}{4}\right)\log(4) + \ldots \!\, . </math>
 
Dobro asimptotično oceno da Laplaceova metoda najhitrejšega spusta prek [[neenakost]]i:
 
: <math> \oint_{C}dsF(s)e^{st} \sim M(e^{t}) \!\, , </math>
 
kjer se predpostavi, da, če ne obstajajo večkratne netrivialne ničle <math> \zeta (\rho) </math>, izhaja »eksaktna formula« z izrekom o ostankih:
 
: <math> \frac{1}{2 \pi i} \oint _ {C}ds \frac{x^s}{s \zeta (s)} = \sum _ {\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho \zeta '(\rho)}-2+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-1)^{n-1} (2\pi )^{2n}}{(2n)! n \zeta(2n+1)x^{2n}} \!\, . </math>
 
[[Hermann Weyl|Weyl]] je domneval, da za Mertensovo funkcijo velja približna funkcijsko-diferencialna enačba:
 
: <math> \frac{1}{2}y(x) - \sum_{r=1}^{N} \frac{B_{2r}}{(2r)!}D_{t}^{2r-1}y\left( \frac{x}{t+1} \right )+x\int_{0}^{x}du \frac{y(u)}{u^{2}}=x^{-1}H(\log x) \!\, </math>
 
kjer je ''H''(''x'') [[Heavisidova skočna funkcija]], <math>B_{2r}</math> [[Bernoullijevo število|Bernoullijeva števila]] in vsi [[odvod]]i po ''t'' so izračunani v ''t'' = 0.
 
== Zunanje povezave ==
 
* Vrednosti Mertensove funkcije za prvih 2.5002500 števil na [http://www.geocities.com/primefan/Mertens2500.html PrimeFanovi strani], {{ikona en}}
- v angleščini:
* [http://mathworld.wolfram.com/MertensFunction.html Mathworld: Mertensova funkcija] {{ikona en}}
* Vrednosti Mertensove funkcije za prvih 2.500 števil na [http://www.geocities.com/primefan/Mertens2500.html PrimeFanovi strani],
* [http://mathworld.wolfram.com/MertensFunction.html Mathworld: Mertensova funkcija]
 
[[Kategorija:Specialne funkcije]]
[[Kategorija:Franz Mertens]]
[[Kategorija:1897 v znanosti]]
 
 
[[ca:Funció de Mertens]]