Legendrovi polinomi: razlika med redakcijama

dodanih 1.934 zlogov ,  pred 13 leti
+
(novost)
 
(+)
Imenovani so po [[Adrien-Marie Legendre]]. Ta [[diferencialne enačbe|navadna diferencialna enačba]] je pogosto rabljena v [[fizika|fiziki]] in drugih tehničnih področjih. Pojavi se pri reševanju [[Laplace|Laplaceove enačbe]] in sorodnih [[parcialna diferencialna enačba|parcialnih diferencialnih enačbah]] v [[sferne koordinate|sfernih koordinatah]].
 
:<math>P_n(x) = {1 \over 2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right]. </math>
 
==Ortogonalnost==
 
Pomembna lastnost Legendrovih polinomov je, da so [[ortogonalnost|ortogonalni]] v [[Lp prostor|L<sup>2</sup>]] na intervalu &minus;1 &le; ''x'' &le; 1:
 
:<math>\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,dx = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}</math>,
(kjer je &delta;<sub>''mn''</sub> oznaka za [[Kroneckerjeva delta]], ki je 1, ko je ''m'' = ''n'' in 0 sicer).
 
==Primeri Legendrovih polinomov==
Prvih nekaj Legendrovih polinomov:
 
<center><table class="wikitable style="background:white;">
<tr>
<td width="20%" align="center">'''n'''</td>
<td align="center"><math>P_n(x)\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">0</td>
<td><math>1\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">1</td>
<td><math>x\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">2</td>
<td><math>\begin{matrix}\frac12\end{matrix} (3x^2-1) \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">3</td>
<td><math>\begin{matrix}\frac12\end{matrix} (5x^3-3x) \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">4</td>
<td><math>\begin{matrix}\frac18\end{matrix} (35x^4-30x^2+3)\,</math>
</tr>
<tr>
<td align="center">5</td>
<td><math>\begin{matrix}\frac18\end{matrix} (63x^5-70x^3+15x)\,</math>
</tr>
<tr>
<td align="center">6</td>
<td><math>\begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (231x^6-315x^4+105x^2-5)\,</math>
</tr>
<tr>
<td align="center">7</td>
<td><math>\begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (429x^7-693x^5+315x^3-35x)\,</math>
</tr>
<tr>
<td align="center">8</td>
<td><math>\begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)\,</math>
</tr>
<tr>
<td align="center">9</td>
<td><math>\begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)\,</math>
</tr>
<tr>
<td align="center">10</td>
<td><math>\begin{matrix}\frac1{256}\end{matrix} (46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)\,</math>
</tr>
</table>
</center>
 
[[en:Legendre polynomials]]
[[cs:Legendrovy polynomy]]
[[de:Legendre-Polynom]]
445

urejanj